Уважаемые друзья, нужна ваша помощь!)))

если квартира приватизированная, не надо ничего доказывать.
бабка - хозяйка - может зарегистрировать к себе кого угодно.

Вам не требуется доказывать свое родство с владельцем квартиры. По её заявлению Вас обязаны зарегистрировать безусловно. Кстати, слово "прописка" больше не повторяйте. Она отменена еще в 1994 г.

Если завещана квартира, то она явно приватизирована. Ваша родственница как собственник жилья может постоянно зарегистрировать на своей жилплощади кого угодно. Родство доказывать не нужно

Если квартира в собственности вашей двоюродной бабушки, тут действительно всё просто - она пишет заявление в УФМС о регистрации вас в свою квартиру. Но мне кажется, что всё не так просто, и квартира предоставлена по договору социального найма.
В этом случае Вашей престарелой родственнице необходимо зарегистрировать вас в качестве члена своей семьи, что вполне позволяет сделать часть 1 ст. 69 ЖК РФ. Если вы будете вселены в квартиру своей двоюродной бабушкой и будете вести с ней совместное хозяйство, она имеет право обратиться в жилищные органы муниципалитета с заявлением о включении вас в договор социального найма в качестве члена своей семьи. И после такой записи вы будете иметь право на регистрацию в этой квартире.
Вопрос о фамилии двоюродной бабушки и признание вас её родственницей решится в муниципалитете. Их специалисты сообщат перечень документов, необходимых для вашего вселения.
А сдланное завещание и собственность на квартиру - вовсе не одно и то же. Это я говорю для сведения всех остальных. Разве вам сказано, что в завещании есть квартира?
Желаю удачи.

Про то, что квартира приватизирована не указано. А завещать бабушка может любое имущество какое ей будет принадлежать после смерти, хоть кремль...