Можно в частном порядке подать иск в суд на ответчика по ДТП

Понятно Ваше негодование, но, к сожалению, перечисленное в Вашем вопросе (сбор справок, споры и нервотрепки) является неотъемлемой частью подготовки и непосредственного участия в процессе возмещения ущерба, поэтому убытками не считается, и компенсации не подлежит. Для того, чтобы человек не мучился в страховых компаниях и судах, есть юристы, которые за плату готовы сделать это за Вас .Материальные затраты (транспортные расходы, расходы на оплату услуг юриста) можно взыскать с проигравшей стороны, т. е. с виновного водителя, и его страховой компании по суду, если подать иск на них обоих. Но так как Вы получили страховое возмещение по КАСКО, то этот вариант не пройдет. Компенсация морального вреда взыскивается в судебном порядке в случае представления доказательств перенесенных Вами нравственных, физических и моральных страданий в результате ДТП, а не по поводу Ваших действий по подготовке документов для выплаты страхового возмещения. Так что утешьтесь тем, что вообще смогли получить страховое возмещение.

подать то можно, но не факт что удовлетворят

Можа, че перечислили-это и есть моральный ущерб, правда суды, ссылаются на то что это наша жизнь такая, а не моральный вред.

да

На компенсацию морального вреда, то есть за нравственные физические страдания можно подать в любом случае

Согласно ст. 151 ГК РФ "Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину другие нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями лица, которому причинен вред".
Если стоимость вашего полиса по КАСКО не была выше рыночной цены аналогичного полиса в 50-100 раз, то вполне вероятно, что правилами добровольного страхования средств автотранспорта не предусмотрена компенсация морального вреда за счет страховой компании.
Соответственно, у страховщика не возникло право на суброгацию по рассматриваемому требованию и вы можете его самостоятельно реализовать
Если все так как я описал, то вы имеете право подать исковое заявление о взыскании компенсации морального вреда по общим правилам гражданского судопроизводства.
Но, учтите, что в этом случае вы получите еще большее "собирание справок, споры и нервотрёпки, транспортные расходы", которые не компенсируются суммой присужденной судом.