можно ли подать иск второй раз в другой суд, пока решение не вступило в силу?

Стерва, есть такое дело как подсудность - но я так понял, речь не о том.

Вам отказали - это понимать как не удовлетворили иск, или как то, что дело не принято к рассмотрению? Общее правило - если по спору вашему уже есть решение суда, или дело принято к рассмотрению, то другой суд не может принимать дело к своему рассмотрению. Это же касается и суда по месту ответчика - дальше только кассация.

по какой причине отказали?

Пока решение не вступило в силу его лучше обжаловать, так же как и обжаловать определение об отказе во встречном иске.
Однако если Ваше обжалование не будет удовлетворено, то Вы можете подать иск, замечу не встречный, а просто иск по месту жительства Вашего ответчика

Возможно, но ответчик суду пояснит что дело о том же предмете и по тем же основаниям рассматривается в другом суде и что оно подано ранее. Рассмотрение дела приостановят до вступления решения суда, а затем оставят заявление без рассмотрения.

Да можете.

можете, встречный иск подается в тот же суд, в котором принят к производству иск к Вам

Статья 135. Возвращение искового заявления
1. Судья возвращает исковое заявление в случае, если:
5) в производстве этого или другого суда либо третейского суда имеется дело по спору между теми же сторонами, о том же предмете и по тем же основаниям;