Может ли наследадеть передать обязанность по уплате долга одному из наследников?

Да, это возможно.
В соответствии со ст. 1137 ГК РФ "Завещатель вправе возложить на одного или нескольких наследников по завещанию или по закону исполнение за счет наследства какой-либо обязанности имущественного характера в пользу одного или нескольких лиц, которые приобретают право требовать исполнения этой обязанности".
Удачи!

наследнику, если он вступил в право наследования, переходят как права так и ОБЯЗАННОСТИ

Можно.
Обязанности наследодателя после его смерти переходят его наследникам в равных долях, если иное не указано в завещании.
При этом наследник вправе отказаться от наследства (т. е. - как от имущества и имущественных прав, так и от обязанностей) . Отказ от части наследства не допускается.
Если наследник окажется от своего наследства, то имущество, права и обязанности распределятся между остальными наследниками по закону - в равных долях, между наследниками по завещанию - в долях, пропорциональных их долям в завещании. Те опять таки могут отказаться, но тогда они откажутся и от своей прежней доли.
Иными словами, если Вы передадите по завещанию кому-либо из наследников свои обязанности, то после открытия наследства он будет иметь полное право отказаться от их получения и они перейдут в соответствующих долях остальным наследникам.

может

Вместе с павами наследник берет на себя и обязанности

Не только может, но и обязательно передаст.

Как не прискорбо, но может

Однозначно может для этого он и наследник.