Могу ли я представлять интересы физического лица в суде с последующим требованием возместить затраты на представителя?

Да, вполне. Нотариальная доверенность + договор + расписка и все в шоколаде.

Дополню, не обязательно нотариальная, можно в порядке ст. 53 ГПК РФ

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ

Статья 51. Лица, которые не могут быть представителями в суде

Судьи, следователи, прокуроры не могут быть представителями в суде, за исключением случаев участия их в процессе в качестве представителей соответствующих органов или законных представителей.

Статья 52. Законные представители
1. Права, свободы и законные интересы недееспособных или не обладающих полной дееспособностью граждан защищают в суде их родители, усыновители, опекуны, попечители или иные лица, которым это право предоставлено федеральным законом.
2. По делу, в котором должен участвовать гражданин, признанный в установленном порядке безвестно отсутствующим, в качестве его представителя выступает лицо, которому передано в доверительное управление имущество безвестно отсутствующего.
3. Законные представители совершают от имени представляемых ими лиц все процессуальные действия, право совершения которых принадлежит представляемым, с ограничениями, предусмотренными законом.
Законные представители могут поручить ведение дела в суде другому лицу, избранному ими в качестве представителя.

Статья 53. Оформление полномочий представителя

1. Полномочия представителя должны быть выражены в доверенности, выданной и оформленной в соответствии с законом.
2. Доверенности, выдаваемые гражданами, могут быть удостоверены в нотариальном порядке либо организацией, в которой работает или учится доверитель, товариществом собственников жилья, жилищным, жилищно-строительным или иным специализированным потребительским кооперативом, осуществляющим управление многоквартирным домом, управляющей организацией по месту жительства доверителя, администрацией учреждения социальной защиты населения, в котором находится доверитель, а также стационарного лечебного учреждения, в котором доверитель находится на излечении, командиром (начальником) соответствующих воинских части, соединения, учреждения, военно-учебного заведения, если доверенности выдаются военнослужащими, работниками этих части, соединения, учреждения, военно-учебного заведения или членами их семей. Доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверяются начальником соответствующего места лишения свободы.