Нотариус отказался принимать заявление от наследника по закону, пояснив , что другой наследник принял его по завещанию.

Обжалуйте отказ нотариуса. Он обязан вам дать письменный отказ в совершении нотариальных действий. А по сути.. . тут нужно сходить к адвокату... Только в живой беседе и при изучении всех документов можно правильно сориентироваться.

Наследник по закону имеет право на обязательную дорлю в наследстве? Завещание действительно оформлено? Тогда на что рассчитывает, подавая заявление о наследстве, если не на обязательную дорлю? Что наслденик по завещанию от наследства откажется? Признать завещание недействительным не так просто, как некоторые думают

Правильно отказал. Если наследник по завещанию откажется от наследства, то сможее наследовать квартиру. Проживание в ней докажет, что Вы фактически приняли наследство.

Любые неправомерные действия должностного лица (а нотариус - именно такое лицо) можно и нужно обжаловать в судебном порядке. В делах о наследовании важно не пропустить сроки подачи заявления о вступлении в наследство.
В любом случае преимущество имеет наследник по закону, тем более, если он проживает совместно с наследодателем, прописан на данной жилплощади и оплачивает коммунальные платежи. Однако, судебных тяжб избежать не придется, и здесь будет нужен грамотный адвокат.
Советую набрать в поисковике "вступление в наследство" - там много полезной информации, здесь невозможно охватить и отразить такой объем.
Удачи!

Наследник по завещанию имеет неоспоримое право. Если только признать завещание недействительным.... Но это - сложно.

Сходите к нотариусу вдвоем, пусть докажет, что завещание есть. Как иначе убедиться?

признать завещание недействительным