Может ли третье лицо на стороне ответчика заявить суду о пропуске истцом исковой давности???

Вопрос поставлен не совсем корректно. Но я, все же, отвечу…
Очевидно, что речь идет о третьих лицах, не заявляющих самостоятельных требований относительно предмета спора. (статья 43 ГПК РФ) .
Да, они имеют право делать такие заявления суду.
(Выше знатоком Ю. Ереминым совершенно справедливо было отмечено, что суд рассматривает вопрос о пропуске срока давности только по заявлению сторон) .
Хоть эти лица и не заявляют самостоятельных требований относительно предмета спора, тем не менее, эти лица в той или иной степени заинтересованы в исходе дела, поскольку решение может повлиять и на их интересы. Так, если предъявлен иск к транспортной организации о возмещении ущерба, причиненного в результате ДТП, то водитель (работник этой организации, виновный в ДТП) , безусловно, заинтересован в исходе дела, т. к. от того, в каком размере суд удовлетворит иск, зависит размер регрессных требований к нему организации.
Очень часто на практике встречается присутствие третьих лиц в деле на стороне ответчика (пример, связанный с ДТП) .
Третьи лица, вступившие в дело на стороне ответчика, пользуются процессуальными правами, предоставленными им законом.
Например, в этом качестве они вправе задавать вопросы истцу, свидетелям, экспертам, представлять свои доводы, давать устные и письменные объяснения судье;
Тем не менее, нельзя считать этих лиц соответчиками. В частности, они не отвечают непосредственно перед истцом, имея лишь интерес в исходе дела (например, из-за того, что впоследствии к ним может быть предъявлено регрессное требование) .
Однако, эти третьи лица имеют не все права ответчика. Они, например, не вправе:
-признать иск;
-предъявить встречный иск ;
-заключить мировое соглашение.

суд по своей инициативе не вправе применять сроки исковой давности, это известный факт, только при наличии ходатайства сторон, то есть истца (что смешно) и ответчика, но не участников процесса.

ваше ход-во останется без удовлетворения.

Да может
Вообще-то судья сам должен был увидеть сей факт и вынести постановление об отказе в производстве за истечением срока давности.

Поскольку исковая давность применяется только по заявлению стороны в споре (пункт 2 статьи 199 ГК РФ), соответствующее заявление, сделанное третьим лицом, по общему правилу не является основанием для применения судом исковой давности. Вместе с тем заявление о пропуске срока исковой давности может быть сделано третьим лицом, если в случае удовлетворения иска к ответчику возможно предъявление ответчиком к третьему лицу регрессного требования или требования о возмещении убытков.

Читай: пункт 11 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29 сентября 2015 г. N 43
"О некоторых вопросах, связанных с применением норм Гражданского кодекса Российской Федерации об исковой давности"

можно ли присутствовать на суде на стороне ответчика, иметь голос, или он будет уже как свидетель, о котором подают ходательство