Как будет правильно: иск или просто заявление в суд?

В суд, нотариус не поможет - там у вас разное написание фамилии. Наименование: заявление об установлении факта, имеющего юридическое значение. Обратитесь к живому юристу - далеко непростое дело, имеется ряд нюансов.

Ничего не нужно. В соответствии со ст. 265 ГПК РФ заявление об установлении факта, имеющего юр. значение, подается в том случае, если не имеется возможности получения надлежащих документов заявителем или при невозможности их восстановления. Это не ваш случай. Вам необходимо представить туда, где вам нужно подтвердить свое родство ( у нотариуса, например) свидетельство о своем рождении и выписку из актовой записи о внесении в фамилию отца изменений.

Заявление особого производства об установлении факта, имеющего юридическое значение (родственных отношений).

Иск — применительно к российскому законодательству — это требование, предъявляемое истцом в судебном (гражданско-правовом, арбитражно-правовом, третейском) порядке, и вытекающее из принадлежащего истцу права в силу договора или по иным основаниям, предусмотренным в законе. Хотя следует обратить внимание на то, что само понятие иска в законодательстве не закреплено, что, в свою очередь, позволяет учёным вести дискуссии на эту тему. Так, существуют различные теории раскрытия сущности этого правового феномена - как материального понятия, процессуального, имеющего двойственную природу и двух раздельных понятий как для материального, так и для процессуального права. Иск — это средство защиты через суд (в том числе третейский суд и арбитражный суд) нарушенного или оспариваемого права или охраняемого законом интереса.
Но скорей всего вам нужно подать заевление в суд, только зачем вам узнавать родство?
Это только если вы претиндуете на носледстро, перед теми кто не являлся его родственниками (любовница например)
И тогда через суд вы можете высудить ДНК тест и докажите...