Могут ли мне выставить иск на дорогостоящий ремонт?(я- владелец квартиры, выдала доверенность на управление)

Как следует из вашего вопроса, ваш родственник, по своей правовой сути был Вашим поверенным. Согласно статьям793 794 совершать все действия, при получении Вашего предварительного согласия. Даже если Вы разрешили ему делать ремонт, то перечень работ и их стоимость он должен согласовать с Вами. Так, что ситуация не критическая, но всеже грамотный адвокат Вам не помешает

Я могу вам только посочувствовать, но вам придется с вашим "родственничком" судиться очень строго.
Вам лучше посоветоваться с профессиональным адвокатом, т. к. здесь никто вам толкового ответа не даст.. .
Зачем вы вообще эту дурость сделали-доверенность на управление с такими полномочиями?
Это вам будет уроком в жизни.
Могу дать вам телефон Горгадзе Шота Олеговича.
7-903-968-06-58

Я могу вам лишь посочувствовать, но вам придётся с вашим "родственничком" судиться очень строго.
Вам лучше посоветоваться с профессиональным адвокатом, т. к. здесь никто вам толкового ответа не даст.. .

Зачем вы вообще эту дурость сделали - доверенность на управление с такими полномочиями?
Это вам будет уроком в жизни.

Вы можете, конечно, подать иск, но судя по тому, что вы пишете - распорядитель не нарушал никаких пунктов договора - он сделал ремонт.
Данный пункт прописан в доверенности.

То, что пропала мебель - предъявляйте либо иск, либо пишите заявление о краже имущества, т. к. этого пункта в доверенности нет - распоряжение квартирным имуществом, т. е. мебелью.
В связи с этим, все подозрения лягут на вашего родственника, и он будет отвечать за утерянное имущество.

Конкретно об оплате 1\2 ремонта - все вопросы к распорядителю, потому что от его имени ведётся ремонт.
Если распорядитель исчез или скрывается - через полицию ищите его.
Если рабочие не составляли никаких документов о ремонте квартиры, можете их нахрен слать, поскольку они вам ничего не могут предъявить, т. к. нет документальных фактов того, что они проводили ремонт, а вы являетесь заказчиком ремонта.

В связи с этим - не выплачивайте никаких денежных средств никому из этих людей.

Ваш родственник поступил согласно выданной вами доверенности. Но так как он выступал от вашего имени. все расходы и легли на вас. Вы же сами пишете в доверенности " производить текущий. капитальный ремонт... " Он так и сделал. дизайнерский ремонт и есть либо текущий. либо капитальный. Все зависит от объема и вида работ.
Что касается пропажи имущества - флаг вам в руки, судитесь - доказывайте.