Хочу записывать подкаст, где я читаю чужие стихи. Могут ли быть проблемы с правообладателями?

Читайте, но для начала получите одобрение авторов.

Если обязательно указывать авторов перед стихами, то проблем не возникнет.

Если будете на этом зарабатывать то да

Согласно п. 2 статьи 1270 ГК РФ: Использованием произведения НЕЗАВИСИМО от того, совершаются ли соответствующие действия в целях ИЗВЛЕЧЕНИЯ прибыли или без такой цели, считается, в частности:
1) воспроизведение произведения, то есть изготовление одного и более экземпляра произведения или его части в любой материальной форме, в том числе в форме звуко- или видеозаписи, изготовление в трех измерениях одного и более экземпляра двухмерного произведения и в двух измерениях одного и более экземпляра трехмерного произведения. При этом запись произведения на электронном носителе, в том числе запись в память ЭВМ, также считается воспроизведением. Не считается воспроизведением краткосрочная запись произведения, которая носит временный или случайный характер и составляет неотъемлемую и существенную часть технологического процесса, имеющего единственной целью правомерное использование произведения либо осуществляемую информационным посредником между третьими лицами передачу произведения в информационно-телекоммуникационной сети, при условии, что такая запись не имеет самостоятельного экономического значения; http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64629/dffcf0b87b80ff38f430dc822a0074e76ccd41a0/
По ст 1301 ГК РФ (ответственность за нарушение) 1) в размере от десяти тысяч рублей до ПЯТИ миллионов рублей, определяемом по усмотрению суда исходя из характера нарушения;
2) в двукратном размере стоимости контрафактных экземпляров произведения;
3) в двукратном размере стоимости права использования произведения, определяемой исходя из цены, которая при сравнимых обстоятельствах обычно взимается за правомерное использование произведения тем способом, который использовал нарушитель.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64629/c2f79b53ce582e92680379e2ebd23eeb9fb7855a/
На статью 1274 ГК РФ не стоит опираться (бесплатное ЦИТИРОВАНИЕ, а не использование)
для исп. этой статьи Вам необходимо ДОКАЗАТЬ необходимость использования произведения и указать первоисточник (проще взять разрещение)! Лучше всего спросить АВТОРА - можно и в электронной форме (переписку сохраняете). Выхода два - либо разрешения, либо как интервью -(читаете вы - автор слушает, или наоборот). Еще можно по оферте, например: http://moistroki.ru/publichnaya-oferta.html - сначала перевод денежных средств - потом использование (хоть дома, хоть по тв, или радио пойте и читайте). Иначе - нарушение авторских прав! Данный ответ относится к Российским авторам - у "импортных" авторов свои законы и совсем другие гонорары!

Если есть финансовая выгода то могут быть проблемы, если живая душа захочет этого