подключил роутер к компьютеру с помощью кабеля, должен ли комп его "увидеть"?

пк его и не должен найти.. нужно открыть центр управления сетями и общем доступом, там должна быть сеть от пк до роутера, это при условии что на сетевую карту в пк или буке стоит драйвер... если все так, нужно открыть браузер и вписать адрес который находится на наклейке на роутере (внизу).. обычно это 192.168.0.1 (необязательно такой).. далее в браузере откроется вэб морда роутера где нужно ввести логин и пароль, обычно admin (что тоже не обязательно:).. далее можно ввести настройки для роутера.

если сеть домашняя, то увидит в проводнике - сеть как устройство.
ну и сетевой адаптер естественно увидит и в инет пустит, если роутер настроен как нужно.
а так 192.168.0.1 / 192.168.1.1 в браузере

да должен показать сетьевой кабель подключен и можете с обозревателя набрать его айпишник обычно он по умолчанию 192.168.0.1 или 192.168.1.1 в адресную строку обозревателя после этого должно выскочить меню или сообщение об входе в меню

А компьютер и не должен его находить, введите в браузере 192.168.1.1, 192.168.0.1, tplinklogin.net
Вводить в строку адреса в браузере.
На самом роутере мигает подключение порта к компьютеру?

да, посмотри в документации к роутеру адрес его веб интерфейса и зайди на него

192.168.1.1 и потом админ, пароль админ. у вас вообще в документах всё должно быть написано. просто пароль может быть не админ а например 12345. в асусе админ