Подберите материнку под процессор AMD 3 RYZEN 2200G, чтобы не пришлось прошивать биос

Любая на 400-ом чипсете - 100% подойдёт, типа B450, X470. 400-ые чипсеты и были выпущены под 2-ое поколение райзенов и работают с ними "из коробки".
Но почти наверняка и на 300-ых заработают, т. к. после выхода райзенов 2-го поколения их стали прошивать на заводе, но есть шанс, что попадется старая поставка и процессор не заработает без прошивки.

на любую встанет без прошивки даже на а320
https://ichip.ru/byudzhetnye-materinskie-platy-dlya-amd-ryzen-3-2200g-i-ryzen-5-2400g.html

Бужэт назови, вуф-паф. Подобрать можно и MSI X470 GAMING M7 AC

Материнская плата GIGABYTE B450M DS3H[AM4, AMD B450, 4xDDR4-2933 МГц, 2xPCI-Ex16, аудио 7.1, Micro-ATX ссылка https://www.dns-shop.ru/product/ce8348a993a33330/materinskaa-plata-gigabyte-b450m-ds3h/

Проц самый новый, поэтому хоть 350, хоть 450 и тд. Все равно придется биос прошивать в 99% случаев на данный момент. Просто бери в ситилинке или днс и тебе сразу там бесплатно её прошьют.
asus prime b350m-k хорошая материнка, могу её посоветовать и стоит не дорого.
Хотя под 220ge логичнее бы взять на a320 что-то потому-что все равно проц не гонибельный.

Это невозможно. Тебя все равно кинут на деньги и заставят обновлять. Именно поэтому лучше купить консоль. У тебя будут скидки на игры, больше игр доступно, многие из них вовсе бесплатно и консоль всего 30к стоит и тянет все игры на ультрах хоть 4к. Это не просто слова а уже реальность. Если не веришь сходи в магазин и спроси и пасаны тебе скажут и покажут. Мне показали и я обосрался.

MSI B350 PRO-VDH, MSI B350 PC Mate, да и любая B350 мать. (Gigabyte и ASRock не бери).