Нужно ли провод "0" заводить после счётчика в квартиру через автомат ?

раб. ноль не рвётся, обеспечивает протекание тока по цепи, тем самым обеспечивая работу оборудования, по сечению выбирается не менее сечения фазного провода ( суммируя сечения вы дойдёте до абсурда) ноль защитный говорит сам за себя и используется в качестве заземления, хотя в эл щите это одно и тоже.

НЕТ
"НОЛЬ" может быть один но на СУММАРНУЮ МОЩНОСТЬ
Если обычные "фазы" 4 раза по 16А то "ноль" должен быть не менее 40А.
На самом деле он нужен для аварийно-технического отключения.

Пока не прочитал Вашу " необязательную инфу " хотел ответить как электрик что нет, не нужно .
Однако, судя по Вашему пояснению дом частный, а по опыту знаю что при подводке электричества к частным домам воздушными линиями порою происходят замыкания и перехлёсты, когда ноль может стать фазой запросто и к дому может идти не 220 а все 380 с двух фаз - такие случаи довольно часты и было много судов с энергопоставляющими компаниями .
Так же частые случаи обрыва нулевого провода или отгорание его на линии, тогда в силу того, что дома подключены к разным фазам для равномерности нагрузки на силовой трансформатор вторая фаза может появиться на нулевом проводе через потребители на линии .
В силу вышесказанного могу просто порекомендовать поставить автоматы и на нулевой провод, а все электробытовые приборы в доме надёжно заземлить и надёжно соединить заземление в доме с нулевым проводом .
Тогда при возникновении аварийной ситуации, описанной выше сработают автоматы ( или общий автомат ) и по нулевой линии, что поможет предотвратить неприятности в виду выхода из строя электробытовых приборов от повышенного напряжения, либо угрозу жизни при подобной аварии, когда вместо ноля в доме будет присутствовать фаза на всех электроприборах при отключении фазного автомата .
При подобной аварии сработает защита и по нулевому проводу если он будет соединён с проводом заземления в доме .
И как написали в ответе выше материальные и трудозатраты небольшие, а неприятностей можно избежать довольно серьёзных .

Вообще-то обязательна установка автомата только на фазу
НО если учитывать ситуации описанные NORD, то для защиты от перекоса фаз (ситуации, когда появится больше 220)
НА ОБЩЕМ ВХОДЕ нужно поставить РЕЛЕ КОНТРОЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ (стоит около 300 рублей=70 гривень) ,
А если решили ставить автомат в нулевую цепь, то НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ СТАВЬТЕ ОДНОПОЛЮСНЫЙ АВТОМАТ (на 1 провод) . Если хотите, чтобы отключалась и нулевая цепь, и фазная цепь (как в описании NORD), то ставьте двухполюсный автомат
Два разных автомата (один на фазу, один на ноль) не ставьте!! ! Иначе при коротком замыкании может отключится ноль, а фазный останется под напряжением (ОПАСНО!!!! )
ИТОГО ВАРИАНТЫ:
1.Защитить только фазу, а ноль не защищать
2. Поставить двухполюсный автомат (внешне выглядит как сдвоенный автомат) на каждый ввод.

И желательно поставить на общем вводе реле контроля напряжения

нет, достаточно общей нулевой колодки (клемника)

И не забудьте про заземление...