Вокруг частного дома потрескалась и местами провалилась бетонная отмостка. Нужно ли удалять старый бетон?

Желательно провалы выровнять щебнем. Вместо арматуры можно применить стальную сетку 25-30 мм. Я так делал в прошлом году. Еще желательно бетоносмеситель литров на сорок. И соблюдать скос.

У нас просто подливают новую

Естественно.
Коли потрескалась, да провалилась- значит либо неправильно устроена изначально, либо грунт поднялся, по каким либо причинам.
Выронять подстилающий слой, обновить дренажную траншею и только потом бетон лить.

Отколотое убрать, а то что держится крепко оставить - уложить арматуру примерно 10 и заливать. Я делал такой раствор - цемент, щебень, морской песок и вода.

Я бы, удалил, хорошо протромбовал перфоратором, подсыпая щебень и потом залил.. . У Вас сел грунт на месте копки котлована. Сделайте всё после весенних ливней

Иногда ремонт старого дома обходится дороже постройки нового. если дом деревянный поменяйте нижние венцы заодно уберите весь этот растрескавшийся хлам, звонкое новое основание. Если кирпичный просто удалите старые куски фундамента, а то что вы будете доливать ещё бетон ничего не даст – лучше утеплите основание.

Ну вообще в идеале почистить его хорошенько, затем можно залить новым, но переложить сеткой, а по верху сделать либо железнение, либо лучше плитку поклади тротуарную. А вообще не сыпь соль зимой на лед - это от соли раствор крошится.

Смотреть надо. Если не было термошвов (через 1,5 м) , или отмостка привязана к стенке дома, то надо переделывать. Если все нормально, то просто засыпать провалы, промоины, залить и замазать сверху. Отмостка служит для того, чтобы отвести воду от дома и может быть даже из рубероида, дерна. Это не несущая конструкция, чтобы бетон и арматуру бухать туда без меры.