Можно ли холодной сваркой закрыть дырку в металлической печи

Заморочка в принципе безтолковая. Хол. сварка не для этих целей, это по сути эпоксидный клей.
Но проблема в том, что там вокруг всё прогнило, металл не толще фольги стал. Вот и появилась первая дырка. Скоро вторая появится, потом просто вся стенка рассыпется. Реанимировать безтолку.

бак с водой? она хрен прилипнет к ржавчине и накипи

закрыть можно, но прогорит сразу же

Холодная сварка не выдержит высоких температур и просто рассыпится

Нет, нельзя. И варить горячей сваркой бесполезно - сгнило. Можно эпоксидной смолой смешанной с сухим цементом на бинт в несколько слоев один больше другого на тщательно зачищенный наждачкой и железными щетками металл.
Однажды на рефсекции котел отопления так пришлось клеить, сварка не помогала, а дело было под зиму, так и всю зиму ездили, и на деповском ремонте ничего не меняли, мол не течет, и еще несколько лет ездила эта рефсекция по железной дороге с клееным котлом пока её не списали.

ХС - эпоксидный клей с наполнителями.
Мораль: Новиков Федор прав.

добрый день холодная сварка вам здесь не поможет так как дырка это только первая ласточка если металл прогнил то скоро появятся и новые дырки и печь вам уже не спасти я бы вам посоветовал в данной ситуации купить новую печь я например купил себе вот такую печь https://lit-kom.ru/Печи_банные/Дровяные_печи/Печи_Везувий/Легенда и уже 7 лет она работает идеально