Можно ли поджигать бумагу/мусор в твердотоплевном котле, если дом топится газом? Система отопления общая на два котла

А вопрос где? Два котла, один для газа, второй для тв. топлива. Бумага - твердое,, можно, нужно.

можно только пепел будет сыпаться отовсюду

Чтобы трубу просушить, нужно хотя бы с угольком протопить. А вот на уголь и бумага, и любой мусор пойдет. Только мне что-то кажется, что при капитальной топке газовый котел гасить и от системы отключать нужно.
Прежде, чем с топкой связываться, проверьте, есть ли у вас тяга в трубе котла. А то, может быть, ее уже инеем затянуло.

2 варианта, и оба хлопотные для Вас. 1) Того, кто ваял систему - взять за ...то, что Вас удобнее, и у него спросить : " А почему, собственно ?!?" И "спрашивать" пока не переделает как надо. 2) Начинать разбираться, что именно и как именно у Вас сделано, откуда берётся влага, куда деваается. Здесь вариантов от 5 основных до ...множества вариаций.
Ваш выбор ?

А если Вам посоветуют три раза в день бить в бубен и петь мантры ради избавления от плесени Вы тоже поведётесь?
Может будет проще найти хорошего жестянщика и решить вопрос кардинально - установкой соответствующего навершия на срезе, чтобы туда влага просто перестала попадать?
И вентиляцию проверьте, не помешает...

Если котёл, для угля, дров, то жги мусор в нём.

слишком много текста - зжигать можно все что горит

А зачем? Скорее всего конечно, раз твердотопленный. Но зачем это делать если газом пользуетесь