Чем можно отполировать пол в бытовке? (дерево без покрытия, уже грязное, т. к. ходили)

Вибро- или лентошлифовальной машинкой. Затем удалить пыль, прогрунтовать и покрыть лаком в два слоя.

Даже профессионалы, циклюющие - на самом деле ошкуривающие - полу шлифмашиной, труднодоступные углы проходят ленточной шлифовальной машинкой.
Я ею без особых мук удалял старый лак с паркета в квартире. Я - не профессионал, меня время не поджимает, это профессионалу вложения в дорогую технику быстро окупятся: больше наработает - больше заработает.
Для Вашего случая она тоже должна подойти идеально.

машинку для шлифовки паркета у кого-то попросить, есть маленькие

Шлифмашина.

Ошкурить

Ни одна шлиф машина не сделает столь гадкую поверхность как цикля. Это будет метапллическая цикля ил кусок стекла - особого значения не имеет, но металличсеская цикля работает намного лучше. От стекла остаются сколы стекла и получаются некие царапинки. Можно пройтись электроциклей, но где её взять.
Однако если в полу гвозди, тогда только шлиф машиной. Если не будет отсос стружки пылесосом, пыли будет много. Причём пыль будет мелкая и залезет даже туда, где Вы и не предполагали. Бытовой пылесос не годится поскольку через фильтры пропускает довольно много мелкой и лёгкой древесной пыли, которая попадает в подшипники и пылесос может просто стать. Нужен промышленный пылесос. Следует помнить, что если шлифуется под лак, тогда наждак нужен не меньше 400 - 600 плотности на см (не на дюйм). потом смочит дерево, ворсинки поднимутся и их нужно снять легонько вручную. Иначе ворса поднимется вместе с лаком и пол будет шершавый.

ЛИНОЛЕУМ

Как в старину - косарём. https://ru.wikipedia.org/wiki/Косарь_(нож)

шлифмашиной

на болгарку купите насадку и вперёд!

или для дрели)

шлифмашина для деревянного паркета, затем лак для паркета ПФ или НЦ или восковый или др. варианты защиты

Наждачным кругом, а после пройтись лаком и зашлифовать диском

Зубной щеткой

плитка