Как можно доказать, что это именно та собака его покусала??

ничего не докажете, да и если свидетелей нет, откуда вы сами знаете что он прям убил ее

Главное, чтобы Вами было подано заявление в милицию. Вас направят на экспертизу, укусы разных пород собак имеют особенности. Поговорите с участковым, возможно он сам видел и знает собаку, либо кто-то жаловался на нее ранее, должен быть произведен осмотр помещения (квартиры) может остались документы, предметы (прививки, корм) , что и ремонт сделал? Можно доказать... Ребенок врать не будет!

Ищите свидетелей которые видели как собака кусала ребенка. Потом с ментами к хозяину собаки, он говорит нет у меня собаки и небыло никогда. Потом опрос бабок возле подъезда (купи им семечек мешок) , а те говорят - да была такая собака у мужика, злющая, на детей все время кидалась и т. д. И мужика за ложные показания и т. д. и т. п. Как то так.

1.Одежда, в которой был одет ребенок на момент происшествия сохранилась? Упакуйте ее в пакет.
2 Заявление с милицию о возбуждении уголовного дела.
Добиться возбуждения уголовного дела - отдельная история. Заявления в прокуратуру думаю могут помочь.
3.Заявлению следователю с требованием провести следственное действие в квартире хозяина собаки. Там должны быть обнаружены следы пребывания собаки (шерсть)
4. Заявление следователю с требованием о назначении экспертизы. На вопрос, одному ли тому же животному принадлежит шерсть, обнаруженная на одежде потерпевшего и шерсть, обнаруженная в квартире.
5. Свидетельские показания соседей хозяина собаки, которые покажут, что гражданин содержал собаку (цвет, размер, порода)

Совсем забыл. Ежели все таки удастся добиться возбуждения уголовного дела, то следователя можно направить еще в таких направлениях: поиск места, где была застрелена собака. Выкопать. Достать пулю. Пусть идентификация пули из охотничьего оружия нашим милиционерам в массе свой не доступна, но сам факт обнаружения будет свидетельствовать об имевшем место факте.

Если хозяин вывозил собаку. То помимо квартиры нужно еще и машину осмотреть. УЖ там то полно шерсти всегда и никакая химчистка не поможет. Машину надо сжигать, чтобы уничтожить следы собаки.
6. Повреждения на одежде пострадавшего. Тоже тоже должны быть осмотрены.

Решимость добиваться справедливости или иной поставленной Вами задачи. Короче говоря- Что Вы хотите? Реальная оценка своих возможностей. На что способен человек, который убил свою собаку можно только догадываться. Милиция предпочитает разбираться с уже свершившимися деяниями. Профилактика не её (милиции) конёк. Поэтому узнайте про хозяина собаки все, что можете. Иногда надо забывать обиды, иногда надо учиться ждать. Ну и уроком это пусть послужит. Если ребенок уже достаточно взрослый, то давать ему что-нибудь против собак. Наверное есть какие нибудь перцовые присыпки, от которых собака бежит. Обрабатывать такими границы детской площадки. Если ребенок еще мал, то находиться с ним во время прогулки. Лучше предотвратить наступление последствий, чем добиваться справедливого наказания потом.

Попробуйте найти свидетелей что собака у него была, а после происшествия ее не стало.