как переквалифицировать статью 116 ч.1 на статью 116 ч.2?

Милиция верно поступила, что передала материал в мировой суд т. к. ч. 1 ст. 116 УК РФ - дело частного обвинения, и милиция возбуждает такие дела только если установят, такие значимые моменты, что потерпевший престарелый, инвалид, несовершеннолетний и не может сам защищать свои интересы. В остальных случаях передают материал в суд, который и шлет заявителю уведомление о том, что он имеет право написать заявление в порядке частного обвинения.
По ч. 2 ст. 116 УК РФ (дело публичного обвинения) заявление Вы можете написать в туже самую милицию. Текст тот же самый за исключением части статьи 116 УК РФ. Но учитывайте то, что для квалификации по части 2 необходимо, чтобы нанесение побоев было совершено:
а) из хулиганских побуждений;
б) по мотивам политической, идеологической, расовой, национальной или религиозной ненависти или вражды либо по мотивам ненависти или вражды в отношении какой-либо социальной группы,
По п. "а" - это когда человек действовал без мотива, точнее без повода. Не было у Вас неприязненных отношений, ранее Вы не знакомы. Или же был использован формальный повод.
По п. "б" - один из выше указанных мотивов. На практике сталкивался с данной квалификацией, когда человек бил человека нетрадиционной сексуальной ориентации.
Если есть что-либо из указанного в ч. 2, то пишите заявление в милицию. Если нет, то не теряйте время - либо пишите в мировой суд по ч. 1 ст. 116 УК РФ, либо не пишите никуда.

если вам побои были нанесены из хулиганских побуждений и следствие это докажет, то ст. 116 ч. 2 вашему злодею обеспечена