Может ли простой гражданин провести расследование убийства и после выявления убийцы разместить отчет в интернете ?

Если не страшно за свою жизнь, то на здоровье.

Может
http://www.consultant.ru/popular/cons/1_2.html#p123
Статья 29
4. Каждый имеет право свободно искать, получать, передавать, производить и распространять информацию любым законным способом. Перечень сведений, составляющих государственную тайну, определяется федеральным законом.
при условии
Статья 24
1. Сбор, хранение, использование и распространение информации о частной жизни лица без его согласия не допускаются.

Может
http://www.consultant.ru/popular/cons/1_...
Статья 29
4. Каждый имеет право свободно искать, получать, передавать, производить и распространять информацию любым законным способом. Перечень сведений, составляющих государственную тайну, определяется федеральным законом.
при условии
Статья 24
1. Сбор, хранение, использование и распространение информации о частной жизни лица без его согласия не допускаются.

К сему хочу добавить, что стаья 129 Клевета - декриминализирована, ошибетесь - всего-лишь административка.
Но если убивец - должностное лицо или судья - уголовная ответственность никуда не делась!

а кто ему запретит?

В Конституции написано, что нет никаких ограничений в получении информации и её распоряжением. Только методы не должны противоречить законодательству и сведения не должны составлять какую-либо тайну: государственную, коммерческую и какие там еще есть...

Нет не может. Простой гражданин не имеет права вести частную сыскную деятельность в соответствии с законом.

главное чтобы доказательства в суде легализовать.

Ольга Петровна как обычно лапочет какую-то отсебятину. Причем здесь клевета вообще?
Во-вторых, статью за клевету в отношении судьи тоже отменили. Вот оскорбление представителя власти осталось, но Ольга Петровна путает клевету с оскорблением, это нормально для нее.