сможет ли ребенок пойти служить в полицию, если один из родителей 20 лет назад привлекался по кражной статье, дело было

Сейчас не 37 год, наличие судимости у родственников не повод для отказа в службе в полиции

сможет

Ваш ребенок может не указывать судимость родителя, т. к.
УК РФ ст. 86
1. Лицо, осужденное за совершение преступления, считается судимым со дня вступления обвинительного приговора суда в законную силу до момента погашения или снятия судимости. Судимость в соответствии с настоящим Кодексом учитывается при рецидиве преступлений, назначении наказания и влечет за собой иные правовые последствия в случаях и в порядке, которые установлены федеральными законами.
2. Лицо, освобожденное от наказания, считается несудимым.
3. Судимость погашается:
а) в отношении лиц, условно осужденных, - по истечении испытательного срока;
б) в отношении лиц, осужденных к более мягким видам наказаний, чем лишение свободы, - по истечении одного года после отбытия или исполнения наказания;
в) в отношении лиц, осужденных к лишению свободы за преступления небольшой или средней тяжести, - по истечении трех лет после отбытия наказания;
г) в отношении лиц, осужденных к лишению свободы за тяжкие преступления, - по истечении восьми лет после отбытия наказания;
д) в отношении лиц, осужденных за особо тяжкие преступления, - по истечении десяти лет после отбытия наказания.

А вот самое главное:
6. Погашение или снятие судимости аннулирует все правовые последствия, предусмотренные настоящим Кодексом, связанные с судимостью.

Удачи вашему ребенку в службе.