В какой срок инспектор ПДН должен опросить потерпевшего?

Во первых - ПДН не допрашивает. Допрашивают следователи и дознаватели. Второе - не ждите, что Вам кто-то что-то должен.
Ребенок в больнице - пусть лежит, лечится, выздоравливает. Поговорите с лечащим врачом и пусть расскажет, какой диагноз ставит, какие он диагностирует повреждения и поинтересуйтесь, какая примерно степень тяжести для здоровья. Это будет предварительная информация - полезна для Вашего понимания.
Идите в отдел полиции и пишите заявление с просьбой провести проверку по данному факту и при необходимости привлечь к ответственности лицо, нанесшее побои Вашему ребенку. На проверку Вашего материала отводится до 30 дней (могут продлевать). Но в любом случае Вас будут оповещать о продлениях или сами периодически связываетесь с тем кто будет вести материал проверки и у него уточнять стадию рассмотрения.
Такие дела быстро не решаются. Поэтому наберитесь терпения.
Тут еще дело в возрасте детей. Уголовная ответственность наступает с 16 лет, а в некоторых случаях с 14. Поэтому дело могут и не возбудить из-за малолетства совершившего это человека.
Но в любом случае, если дело не возбудят из-за возраста виновного - вынесут отказной материал по результатам проверки - Вы сможете обратиться в суд с иском на родителей мальчика с требованием оплатить ущерб как материальный так моральный.

Обычно в пределах 10 дней

Родная, ты сначала сама напиши лично на бумаге заявление в прокуратуру и полицию, что ж ты не упомянула, про талон уведомление, как сама бегала в деружную часть (или ты думаешь им интересно к тебе ездить), тут все своими ножками, либо Вашего юриста или адвоката, они отпишутся в течении 10 дней, не будешь шевелиться, вышлют отказ, от возбуждения в течении 2 месяцев, ито, если сама будешь соблюдать порядок от 2006 года, об "Обращениях граждан", так понимаю, что "бродяга" избивший Вашего сына, явно не имеет 18-ти лет от роду. Тем более, это никому не интересно. Это лишь Ваша проблема, выборы прошли, можно жить как обычно 6 лет.
А сынку Вашему Газовый баллончик в помощь и шоккер (если на него деньги найдете, именно хороший). Лучшее каратэ, это новенький ПМ (наградной) - только не обижайтесь, тут реально Ваша проблема, а не полиции. Да и родня Ваша что то не особо себя проявила, раз то животное не в больничке! Дудаев заявлял с трибуны:" Все люди деляться на волков и баранов!" - вот и решайте кто Вы по жизни, у нас национальная идея - это Сила, Наглость и Хамство!
Раз уж, у Вас все так плохо, то не поленитесь, сходить к настоящему юристу, консультация стоит не больше 3000 рублей (вряд ли, Вы отсудите, от родителей подростка, денюжку на лечение, санаторий и реабилитацию, да и моральный вред, больше 50000 рублей - сказки) - и то деньги будите годами "ждать".
Запомни раз и на всегда, твой сын нужен - только Армии РФ, а все остальное, это твоя забота и как ты его будешь защищать тем более - слабые никому не нужны, а бедные тем более. Если не прав отпишись =))