Почему после заваривания чая, на кружке остаются темные круги от чая?

Просто на даче у вас вода более жесткая, чем дома.

Жёсткость воды — совокупность химических и физических свойств воды, связанных с содержанием в ней растворённых солей щёлочноземельных металлов, главным образом, кальция и магния (так называемых «солей жёсткости») .
Вода с большим содержанием таких солей называется жёсткой, с малым содержанием — мягкой. Термин «жёсткая» по отношению к воде исторически сложился из-за свойств тканей после их стирки с использованием мыла на основе жирных кислот — ткань, постиранная в жёсткой воде, более жёсткая на ощупь. Этот феномен объясняется, с одной стороны, сорбцией тканью кальциевых и магниевых солей жирных кислот, образующихся в процессе стирки на макроуровне. С другой стороны, волокна ткани обладают ионообменными свойствами, и, как следствие, свойством сорбировать многовалентные катионы — на молекулярном уровне. Различают временную (карбонатную) жёсткость, обусловленную гидрокарбонатами кальция и магния (Са (НСО3)2; Mg(НСО3)2), и постоянную (некарбонатную) жёсткость, вызванную присутствием других солей, не выделяющихся при кипячении воды: в основном, сульфатов и хлоридов Са и Mg (CaSO4, CaCl2, MgSO4, MgCl2).
Жёсткая вода при умывании сушит кожу, в ней плохо образуется пена при использовании мыла. Использование жёсткой воды вызывает появление осадка (накипи) на стенках котлов, в трубах и т. п. В то же время, использование слишком мягкой воды может приводить к коррозии труб, так как, в этом случае отсутствует кислотно-щелочная буферность, которую обеспечивает гидрокарбонатная (временная) жёсткость. Потребление жёсткой или мягкой воды обычно не является опасным для здоровья, есть данные о том, что высокая жёсткость способствует образованию мочевых камней, а низкая — незначительно увеличивает риск сердечно-сосудистых заболеваний. Вкус природной питьевой воды, например, воды родников, обусловлен именно присутствием солей жёсткости.
Жёсткость природных вод может варьироваться в довольно широких пределах и в течение года непостоянна. Увеличивается жёсткость из-за испарения воды, уменьшается в сезон дождей, а также в период таяния снега и льда.

Это зависит от жесткости воды, у меня и дома от чая остаются кружочки и сильная накипь в чайнике.

Может быть вы дома и на даче пьёте разный чай, а может и от воды зависит (не знаю) . На стенках чашки остаются тёмные круги от плёнки на чае, которая называется чайные сливки и наличие её говорит о качестве чая.

Это говорит о жесткости воды.

в основном это частички чая очень мелкие остаются, которых очень много например в гранулированом чае (который как известно всем не очень высокого качества) . Плохое качество воды также влияет.