усыновляя ребенка, фамилия отца ребёнку дается автоматически или нет???

ребенку при рождении присваевается фамилия отца или матери, если они разные. С обоюдного согласия родителей. И сменить ее можно при согласии обоих родителей. Если вы усыновляете ребенка жены, то потом идете в ЗАГС с мамой ребенка и пишите заявление на смену фамилии ребенка. И ему присвоят вашу общую фамилию ( или вашу, если у мамы ребенка другая, но она не против, что бы у ребенка была ваша)

Только если у матери фамилия такая же. В ином случае ничего автоматически не делается.

Усыновление устанавливается в судебном порядке. В заявлении об усыновлении должны быть указаны:
фамилия, имя, отчество усыновителей (усыновителя) , место их жительства;
фамилия, имя, отчество и дата рождения усыновляемого ребенка, его место жительства или место нахождения, сведения о родителях усыновляемого ребенка, наличии у него братьев и сестер;
обстоятельства, обосновывающие просьбу усыновителей (усыновителя) об усыновлении ребенка, и документы, подтверждающие эти обстоятельства;
просьба об изменении фамилии, имени, отчества, места рождения усыновляемого ребенка, а также даты его рождения (при усыновлении ребенка в возрасте до года) , о записи усыновителей (усыновителя) родителями (родителем) в записи акта о рождении.
Если не укажете просьбу об изменении фамилии, суд по своей инициативе это не сможет сделать.

Нет. По решению суда, если усыновитель об этом просит в заявлении об усыновлении.

Ст. 134 СК РФ- За усыновленным ребенком сохраняется его имя, отчество и фамилия.
2.По просьбе усыновителя усыновленному ребенку присваиваются фамилия усыновителя.

В исковом заявлении указываете просьбу поменять фамилию. Я меняла фамилию, отчество, хотела поменять свою фамилию в свидетельстве о рождении (там была указана фамилия первого брака) мне отказали, фамилию и отчество поменять ребенку разрешили.

Как Вы пожелаете, при усыновлении в графу отец обязательно вписываются данные об усыновителе.