У нас с сыном квартира приватизирована на двоих. Могу я пойти к нотариусу и оформить завещание, чтобы вторая половина

Если сын единственный, то и завещания составлять нет необходимости.

Да, конечно вы имеете право обратиться к нотариусу и оформить завещание на вашего сына и в права он вступит только после вашей смерти, когда оформит все как положено и получит свидетльство на наследство, а затем все зарегистрирует на себя.

ну там много вариантов завещания или дарственная.

Если сделаете дарственную, то он сразу вступает в наследство и Вы уже в квартире не хозяйка, а вот завещание- это другое дело!

Можете. Завещания на ближайших родственников не облагаются налогами. А нотариус сохранит вашу тайну завещания. Только у вас в бумагах должно быть указание, что у вас есть завещание (сам нотариус не будет следит за вашей жизнью. Он огласит завещание только после предоставления ему свидетельства о смерти)
Дарственная проще по форме, но дарение происходит непосредственно сейчас, когда вы живы и он будет знать, что он может распорядится квартирой как хочет, ни считаясь с вашим мнением.
Лучше, по-моему, завещание.
Дам ссылку на ГК РФ касаемо наследства и завещания http://www.consultant.ru/online/base/?req=doc;base=LAW;n=78016

а у вас есть еще дети, супруг и родители? если сын единственный наследник, то можете ничего не делать, а ваша доля квартиры достанется ему после вашей смерти по закону.

Кончно можете и завещание даже лучше чем дарственная так вы хоть свои годы доживете в квартире а не на улице.