Какое юридическое значение имеет признание факта совместного проживания и ведения общего хозяйства.

С точки зрения Россиийских законов, никаких прав на имущество, приобретенное во время сожительства, не дает, если не подтверждается письменными доказательствами - чеками, договорами и т. п.
Прав на имущество умершего не возникает никаких, ибо наследником первой очередеи, в силу закона, является только супруг умершего, и уж никак не сожитель
http://www.consultant.ru/popular/gkrf3/6_3.html#p282
Статья 1142. Наследники первой очереди
1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.

Единственный случая, являющийся исключением, указан в части 2 статьи 1148 ГК РФ
Статья 1148. Наследование нетрудоспособными иждивенцами наследодателя
2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.
3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.

Удачи

Только в одном случае может иметь значение - если можно доказать, что сожитель был на иждивении наследодателя и имеется возможность получить обязательную долю при наследовании

Категорически нет. Наследственных прав установление этого факта не дает. Он может быть использован только при рассмотрении иска о выделе доли из общего имущества.

данные факты могут доказать, что имущество было нажито в период совместного проживания супругов, кроме того, может доказать например что ребенок родился именно от этого отца, так как в этот период люди жили вместе (помимо ДНК конечно)

При разделе имущества данный факт имеет сильное значение