Как в судебно порядке можно признать лиц супругами, если один из супругов уже покойный, последние несколько лет они

Никак нельзя!
Это тоже самое что живут 2 человека в одной комнате общежития, не родня и между собой юридически никто и вдруг один умер-а другой решил завладеть всем имуществом, которое есть, так вот он получит ровно столько - сколько сможет доказать что оно его, а уж что не его - то родне или государству но никак не ему.

супругами после развода их признать нельзя, признаются только браки, заключенные в ЗАГСе, соответственно, не наследует. А вот признать квартиру совместно нажитым имуществом можно, если приобретена в период, когда брак был официально зарегистрирован, т. е. 1/2 в собственности, или документально доказывает, что деньги вкладывала. Все от фактических обстоятельств зависит

Обратитесь к адвокату хорошему, если жили совместно и вели общее хозяйство, да если и ребенок совместный есть, то свидетельские показания добавить и возможно докажете супружество.

Никак. И не слушайте того что Вам сейчас будут говорить об установлении фактов имеющих юридическое значение. Штампик в паспорте он конечно как правило ни к чему, но в таких случаях как этот имеет огромное значение

Если квартира была приватизирована на покойного сожителя, то ситуация нулевая. Квартиру получит только наследник первой очереди. А она наследником никак не станет...

А Вам и не надо признавать их супругами т. к. только ГОСУДАРСТВЕННАЯ РЕГИСТРАЦИЯ брака свидетельствует что они супргуги. А таковой НЕТ.
Сожительнице надо подавать иск о признании права собственности на квартиру (ее долю) как на общее имущество. Имущество приобретенное за счет общих средств. Если не докажет что онатоже вкладывала деньги то доказывать что она также имеет право на наследство в силу совместного проживания более года с умершим до его смерти и нахождение у его на иждевении