Какие док-ты нужны собрать?

А для чего это вам нужно? Потратите куча денег, на исковое заявление, на оплату генетической экспертизы (огромная куча денег)... Ну добьетесь своего, и будут вам алиментики.... копеечные. Если добровольно папашка не желает ребеночку помогать, то под давлением тем более не станет.
Уж лучше папу другого найти:))

Если отец не записан в свидетельстве о рождении, или, добровольно не признает ребенка своим, Вам необходимо установить отцовство в судебном порядке. Основываясь на свидетельских показаниях требовать проведение экспертизы (отказ от прохождения эк-зы рассматривается как признание отцовства).

Установить отцовство добровольно или через суд

не совсем корректно написан вопрос. Не все ясно.
Отец в свидетельстве о рождении не указан? если запись "со слов матери", то для начала необходимо установить отцовство. Скорее всего будет экспертиза назначена.
Когда подтвердят (если подтвердят) можно уже требовать алименты.. .
Если в свид. о рождении он записан отцом по его согласию - то сразу за алиментами. Можно просить о выдаче судебного приказа, но лучше с иском в суд обратиться.

Для начала, установите отцовство, а потом подавайте на алименты в обычном порядке. Фамилия ребенка при этом не имеет значения...

Чтобы подать на алименты, надо, чтобы был установлен факт отцовства. Для этого для начала подавайте заявление и признании отцовства, а после признания - на алименты.