Как можно вывести ребёнка за границу, если отец ребёнка не даёт разрешение (муж и жена в браке).

Ребёнка не вывозят, т. к. он не вещь. Он выезжает сам с сопровождением или без такового.

(1) Следует различать выезд из РФ и въезд в другие страны. Выезд из РФ и въезд в другую страну физических лиц контролирует пограничная служба (а не таможенники, как часто почему то пишут – таможенники контролируют только перемещение вещей) . Погранконтроль Погранслужбой РФ осуществляется на выезде из РФ и на въезде в РФ. Обычно после выезда из РФ следует въезд в другую страну, где действует погранконтроль этой страны.

(2) Для выезда из РФ ребенка с одним из родителей разрешение на выезд от второго родителя НЕ НУЖНО. Об этом говорит Федеральный закон «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» ст. 20-21
http://www.gpvu.ru/document.asp?did=188
Федеральная пограничная служба России на своем официальном сайте
http://fps.fsb.ru
Раздел ЧАСТО ЗАДАВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ – из 3х вопросов – 3 по сабжу
(видимо, упорные мнения граждан о нужности разрешения от второго родителя не только меня достал, но и их) .
Там же написано, что наоборот, основанием для ограничения выезда одного из родителей с ребенком может быть только заявление о несогласии родителя, оформленное и поданное надлежащим образом (как именно написано) .

(3) Въезд в другую страну
Часто при въезде в другие страны действует правило действия законов страны гражданства, например, как сказано на сайте посольства Украины
«..в части, касающейся условий выезда несовершеннолетних граждан за границу, необходимо руководствоваться законодательством государства выезда» .
Т. е. при пересечении границы гражданами РФ пограничники Украины обязаны руководствоваться законодательством РФ (п. 2), а при пересечении границы гражданами Украины – законодательством Украины (по нему, кстати, разрешение второго родителя требуется) .
Для въезда же в некоторые страны такое разрешение может быть нужно, поэтому полезно смотреть каковы требования страны куда въезжаете. Например, на сайте их посольства в РФ, нужно ли им разрешение, в какой форме, на каком языке и пр. .

Статья 20 Федерального закона "О порядке выезда из Российской Федерации":

Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе, кроме паспорта, нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

А он писал заявление о том что против выезда ребенка?

не требуется разрешения отца.

Оно и не требуется. Ребенка с одним из родителей выпустят без вопросов.

чьего ребёнка хотите вывести?