чтоб перевести ребенка через границу отцу, нужно ли письменное согласие матери

Нет. Не правда.
Всё уже изменилось.
При выезде из РФ несовершеннолетнего с одним из родителей - согласие второго не нужно.

В соответствии с положениями статей 20 и 21 Федерального закона от 15 августа 1996 г. № 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации, совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.
В случае выезда из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации совместно с одним из родителей согласия на выезд ребенка за границу от второго родителя не требуется, если от него не поступало заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации своих детей, оформленного в соответствии с требованиями постановления Правительства Российской Федерации от 12 мая 2003 г. № 273 «Об утверждении Правил подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации» .
В случае если несовершеннолетний гражданин России выезжает из Российской Федерации без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить. При этом также достаточно согласия одного из родителей, если от второго родителя не поступало заявления о его несогласии на выезд своих детей.

Совершенно верно

неправда
согласия жены не требуется

При выезде из РФ несовершеннолетнего с одним из родителей - согласие второго не нужно.
Но вот при въезде в другую страну - зависит от требований данной страны.

Для выезда из России согласия не требуется.
А вот для въезда в некоторые страны - нужно.
например с 14 января 2013г действует постановление, что для оформления шенгенской визы требуется согласие обоих родителей.
А по поводу Украины - важно еще - вы гражданин Украины или Росии, и какое гражданство у ребенка

Для граждан РФ это никогда и не требовалось. Украина впустит ребенка без проблем.
Если ваш киндер и супруга - гр. Украины, то вам потребуется согласие от супруги для выезда из Украины.

Для выезда за пределы РФ разрешение не нужно, а вот для въезда в некоторые страны, например в шенгенскую зону, разрешение нужно!

Да это правда

К сожалению это правда и разрешение нужно обязательно