ЕСЛИ у мужа и жены разные фамилии, какие возникают заморочки при рождении ребенка. Фамилию берет отца, а дальше...

У меня так и есть. За 4 года ни с какими заморочками не столкивалась, хотя мне её даже в паспорт забыли вписать когда меняла, впрочем как и то что я замужем ))))
Так что не парься!

Дальше так и живет с фамилией отца.

Никаких проблем не возникает, если есть документы, подтверждающие родственные отношения (в данном случае - свидетельство о рождении, в котором указаны и фамилия матери, и фамилия отца) .
Удачи!

и живет с фамилией отца

Фамилию можно присвоить ребенку как отца, так и матери (это ваше субъективное право - ребенок сам себе фамилию может поменять при получении паспорта или в более поздний период по желанию и при наличии причин в принципе на любую фамилию) . В свидетельстве о рождении будут стоять фамилии отца и матери. Сложнее у родителей с одинаковой фамилией: при смене фамилии у жены во многих случаях при утере свидетельства о разводе, как и при вступлении в повторные браки со сменой фамилии на практике приходится устанавливать факт родственных отношений между ребенком и матерью (например в категории исков в порядке наследования) , что не совсем просто.

С первым мужем были разные фамилии, сначала дочь записали на мою фамилию, а сына он захотел на свою. Вот только тогда были неприятные моменты, когда их стали считать неродными. Поэтому сыну тоже изменила фамилию на свою. А больше заморочек не бывает.

при рождении - никаких.
это только дальше в садике и в школе неудобно, учителям тажело запомнить фамилию матери, если она отличвется от фамилии ребенка.
на работе при рождении ребенка Вы предоставляете свидетельство о рождении (для получения пособия) и там написано, что Вы мать

При рождении ребенка обычно "записывают" на фамилию отца. А вот при получении паспорта он может взять фамилию по своему желанию, хоть обе - через черточку. Здесь нет причин для заморочек вообще.