Подскажите пожалуйста. Очень прошу!!!

Никакого отказа от ребёнка в природе не существует. Не предусмотрена сия процедура российским законодательством.
У Вас есть два пути:
1. При регистрации ребёнка в свидетельстве о рождении указывается отцом Ваш муж (как и положено по закону) , затем берёте у него нотариально удостоверенное согласие на усыновление другим мужчиной и на его основании биологический отец усыновляет своего ребёнка.
2. В судебном порядке после регистрации ребёнка и получения свидетельства о его рождении, где по-любому отцом будет указан Ваш муж, оспариваете отцовство. Свидетелем на суде может быть биологический отец.

По нашему законодательству отцом является муж. Сделайте как вам сказали.

Санта-Барбара--какая серия?

Нет, отказаться от ребенка невозможно по закону.

запишут ТОЛЬКО на официального мужа
надо было разводится и жениться, а не ждать у моря погоды
потом в судебном порядке оспорит отцовство

Настоящий отец раньше должен был думать, кто будет указан в свидетельстве о рождении. Отказа не предусмотрено, есть вариант, что ваш муж даст согласие на усыновление другим мужчиной, либо оспорит отцовство. Но и первое и второе только через суд, в загс приходят с уже вынесенным решением и вступившим в силу приговором суда.

Лучше пусть Ваш настоящий отец подаст заявление в суд о признании отцовства. Вы исковые требования признаете. Решение суда подадите в ЗАГС.

Настоящий отец против, чтобы даже временно ее записали на чужую фамилию
А его никто и спрашивать не будет. Ребёнка всё равно на мужа запишут.

Обязательно через суд? Иного пути нет?
Обязательно и иного пути нет.

Отец против, чтобы в документах дочери была чужая фамилия? Какая ему разница, ведь он же принял то, что по документам вы - чужая жена.

По закону отцом ребёнка является твой муж. Тебе всё сказали правильно, нужен официальный его отказ в том, что ребёнок – не его.

Да, это так. Иначе автоматически устанавливается отцовство мужа, с которым пребываете в зарегистрированном браке. А если он откажет, вообще предусмотрен судебный порядок по установлению отцовства.