Имеет ли право мать не отпускать ребёнка к отцу?

Конечно имеет право!!!! Соответственно отец в ответ имеет право написать заявление в полицию и накорячить мамашу по п. 2 ст. 5.35 КоАП РФ "2. Нарушение родителями или иными законными представителями несовершеннолетних прав и интересов несовершеннолетних, выразившееся в лишении их права на общение с родителями или близкими родственниками (...) влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей" Пусть платит штрафы государству, раз ей больше заняться нечем.
Так же мамаше объяснить, что согласно Постановлению Пленума Верховного Суда РФ от 27.05.1998 N 10 (ред. от 06.02.2007) "О применении судами законодательства при разрешении споров, связанных с воспитанием детей" с 14 лет несовершеннолетний имеет право САМОСТОЯТЕЛЬНО ВЫБИРАТЬ С КЕМ ИЗ РОДИТЕЛЕЙ ПРОЖИВАТЬ. У мамаши личные амбиции до сих пор побеждают разум. Пичалька. Надеюсь, что папа адекватный в отличии от нее.

Пусть отец подает на неё в суд.
Суд вынесет решение обязующее мать отпускать ребенка к отцу по пределенному судом расписанию.

Нет, не имеет.

Что значит "не пускать" - 15 лет парню. Захотел - поехал сам к отцу, или она его к батарее приковала?

Может. Мать всегда права даже если с головой не дружит и не дай бог колется. Увы законы в основном на стороне матерей, и не только в нашей стране

По закону - нет.
Семейный кодекс Вам в помощь.

По закону если отец лишён рд. прав .то не имеет, но если всё же отец через суд добился разрешения то тут хочешь, не хочешь то мать обязана если же ребенку уже есть 6-12 лет то он в праве решать самостоятельно хочет ехать или нет