Имеет ли право мать ребенка без согласия законного отца ребенка самовольно изменить имя фамилию и отчество ребенка?

Нет, для смены ФИО требуется согласие отца ребёнка и органа опеки. Лишив отца родправ, такое его согласие не требуется, только опеки.
Вопрос, а есть ли основания для лишения родправ. Такое лишение должно происходить в суде по МЖ отца-ответчика и для этого должны быть основания предусмотренные ст. 69 СК РФ.
Папе бы не мешало обратиться в полицию с заявлением о пропаже ребёнка, а то со стороны это выглядит как бы отцу похрену.
Розыск это хорошо. Иди к адвокату и вчиняй иск об определении МЖ ребёнка с собой. Если такое уже определено с матерью, то определяй порядок общения с ребёнком.

Статья 58. Перемена имени

1. Лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество.
2. Перемена имени производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество.
3. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя, а при отсутствии такого согласия на основании решения суда, за исключением случаев приобретения лицом полной дееспособности до достижения им совершеннолетия в порядке, предусмотренном законом.
4. Перемена имени лицу, не достигшему возраста четырнадцати лет, а также изменение присвоенной ему фамилии на фамилию другого родителя производится на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации.
(п. 4 в ред. Федерального закона от 29.04.2002 N 44-ФЗ)
5. Перемена имени подлежит государственной регистрации в органах записи актов гражданского состояния.

если это произошло, значит явно была подделка документов

Разумеется это незаконно. однако, по факту суд как правило выдаёт решения "наиболее подходящее для ребёнка" т. е. если по факту пройдёт некоторое время и ребёнок пару лет проживёт с другими ФИО и забудет настоящего отца. Суд скорее всего оставит всё без изменения ( как правило так и бывает). Если же (что маловероятно) ребёнок будет активно настаивать на прежнем ФИО и кричать "хочу к папе, когда мамка с чужим дядькой набухаются они меня бьют и насилуют", то однозначно передадут отцу.

увезла в неизвестно - зато известно.
вам бы с "неизвестностью" для начала разобраться а изменение ФИО мало на что влияет.
в доках\базах ФИО рождения первоначально.