наследство одинокий человек завещал квартиру другу, может ли двоюродный родственник претендовать на долю?

Если двоюродный родственник не принимал участия в жизни умершего и объявился после его смерти - никаких шансов у него нет. И вот почему:

Обязательную долю в наследстве имеют только нетрудоспособные дети и супруги, а также иждивенцы - т. е. нетрудоспособные лица, которые не менее одного года до смерти наследодателя находились на его полном материальном обеспечении или получали от него материальную помощь, размер которой можно оценить как основной источник дохода этого лица.

Двоюродный родственник в число тех, кто имеет обязательную долю, не попадает и может оспаривать завещание лишь на единственном оставшемся у него основании - а именно, утверждать, что друг обманул умершего, вынудил его составить завещание в свою пользу без каких-то оснований.
Далее двоюродный родственник должен будет в суде (возможно с самыми супер-пуппер адвокатами, только это уже неважно) ДОКАЗЫВАТЬ, что помогал умершему, вел с ним совместное хозяйство, что у них были близкие отношения - а друг ничего этого не делал. Друг с свою очередь будет доказывать, что у него с умершим были близкие отношения.

Если друг действительно тесно общался с умершим (а я почему-то не сомневаюсь, что это так) - найдуться доказательства и свидетели, которые подтвердят, что наследство другу досталось не обманным путем и наследодатель действовал осознанно. Двоюродные родственники пролетят как фанера над Парижем и адвокаты не помогут, т. к. этим адвокатам просто не к чему взывать.

Если он по каким-то основаниям имеет право на обязательную долю

если есть основания для оспаривания завещания

может, если является нетрудоспособным.

если находился на иждивении

В странах СНГ бывшего. Как минимум в Украине и России. Действует одно правило у кого бабло, связи, и хороший юрист и адвокат! А если есть знакомый судья то вобще супер. У того и все законы и права будут работать на него! Теоретически если завещание грамотно составленно и заверено то да! Но практически у нас в странах законодательная база как решето с кучей дыр! Что иногда умудряються и родных выселить появившиеся из не откуда родственики с кучей документов!

да, почему бы и нет.. . через суд).. . доказательства нужны...