могу ли я при установлении отцовства через суд не платить за ДНК экспертизу

если вы подали иск и суд назначил экспертизу -оплачивать будете вы. так как бремя доказательств по закону лежит именно на истце.
При этом если вы выиграете суд - то судебные расходы в том числе и стоимость экспертизы, вам возместит ответчик в судебном порядке.
так что единственный выход - платить ( брать взаймы) и потом взыскивать и возвращать долг

По вашей инициативе проводят экспертизу? Тогда за ваш счет. При положительном решении вопроса вы можете взыскать по суду эти деньги с ответчика.

Если суд ее назначил - можно, в принципе, расслабиться и до решения не оплачивать - все равно ее провести обязаны. Другой вопрос, что в случае проигрыша придется оплачивать уже после решения. Но если решение будет в вашу пользу, есть вариант вообще не платить.

Согласно п. 2 ст. 107 СК РФ алименты присуждаются со дня обращения в суд.

Согласно ст. 98 ч. 1 ГПК РФ стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований. Судебные расходы состоят из государственной пошлины и издержек, связанных с рассмотрением дела.

Согласно ч. 1 ст. 100 ГПК РФ стороне, в пользу которой состоялось решение суда, по ее письменному ходатайству суд присуждает с другой стороны расходы на оплату услуг представителя в разумных пределах.