Сын остается с отцом...

Оформите соглашение о том, что ребенок остается жить с вами и заверьте его у нотариуса.
В соглашении пропишите порядок общения ребенка и матери + вопрос алиментов (если собираетесь их взыскивать).

Увеличение жилой собственности и вообще имущественные вопросы никоим образом не связаны с тем, у кого ребенок живет.
Все имущество, которое вы отдаете ребенку (открытые на имя ребенка денежные счета/вклады, подаренные ребенку квартиры и дома, и т. п.) - все это "повисает" мертвым грузом до 18-летия ребенка и никто, даже вы сами не сможете это у ребенка отобрать.

Это ужасно неудобно в том числе и для родителей - допустим если вы хотите ребенку вместо 1-комнатной хрущевки купить двухкомнатную новостройку на стадии строительства - вам еще хрен два кто разрешит это сделать.
Лучше оформляйте все на себя, а на ребенка завещание оформите.

Никакие. Вы отец, вы являетесь законным представителем ребенка до 18 лет.

Иск в суд: об установлении места проживания ребенка- с отцом.

На выезд за границу вам придется ее "дергать"! Ее же прав родительских не лишили! Пока ему нет 18-ти, вы итак его опекун и все решаете!

Опекунами вы не можете быть по одной простой причине - вы родители! Под опеку берут детей оставшихся без родитетей, а вы законные предствители ребенка и будете действовать в его интересах только с обоюдного согласия. Вам нечего бояться за жилье ребенка, чтобы с ним что то сделать нужно взамен приобрести либо равноценное, либо большее по стоимости или площади и без вашего разрешения быв. жене ничего не сделать. Мало того, нужно еще разрешение органов опеки и попечиельства при операциях с недвижимостью несовершеннолетнего.