На каком основании можно подать апелляционную жалобу, если ответчик не платит алименты и не применяем мер

а при СССР-е его бы еще и за тунеядство привлекли. А тему чего апелляция-то? , ну, а в общем:
В апелляционном порядке обжалуется не вступившее в законную силу постановление мирового судьи. В качестве апелляционной инстанции выступает обычный районный суд. Апелляционная инстанция вправе вторично рассмотреть дело по существу.
Право апелляционного обжалования - это право на возбуждение апелляционного производства по проверке законности и обоснованности решения мирового судьи. Таким правом обладают лица, участвующие в деле. Оно возникает со дня вынесения решения мировым судьей в окончательной форме (ст. 321 ГПК РФ) .
Апелляционная жалоба может быть подана на решение в целом или в части. Она может быть подана и на заочное решение. А вот судебный приказ такому обжалованию не подлежит.
Подать апелляцию вправе истцы, ответчики и третьи лица. Прокурор вправе принести апелляционное представление на решение мирового судьи, если он участвовал в процессе у мирового судьи (ч. 2 ст. 320 ГПК РФ) .
Апелляционная жалоба может быть подана в течение 10 дней со дня вынесения решения в окончательной форме. Она подается в районный суд только через мирового судью.
В самой жалобе должны быть указаны (ст. 322 ГПК РФ) :
- районный суд, которому адресована жалоба;
- лицо, подающее жалобу, его процессуальное положение, местожительство или местонахождение;
- решение какого мирового судьи обжалуется, дата его вынесения и наименование дела, по которому оно вынесено;
- доводы жалобы (в чем состоит неправильность решения, со ссылкой на материалы дела и новые доказательства) ;
- просьба заинтересованного лица, которая должна быть сформулирована с учетом полномочий апелляционной инстанции (ст. 328 ГПК РФ) ;
- перечень документов, прилагаемых к жалобе. Жалоба подписывается лицом, подающим жалобу, а также представителем.
Апелляционная жалоба и приложенные к ней документы должны представляться с копиями по числу участвующих в деле лиц.
Если подающий жалобу не освобожден от уплаты госпошлины, то надо ее оплатить.
После получения жалобы мировой судья:
- направляет участвующим в деле лицам копии жалобы и приложенных к ней документов;
- разъясняет им их право представить возражения на жалобу и соответствующие документы.
Лица, участвующие в деле, вправе представить мировому судье письменные возражения на апелляционную жалобу с приложением документов, подтверждающих эти возражения, в копиях по числу лиц, участвующих в деле (ч. 2 ст. 325 ГПК РФ) .
По истечении срока обжалования мировой судья направляет дело с апелляционной жалобой и поступившими на нее возражениями в районный суд. До истечения срока обжалования дело не может быть направлено.
Далее районный судья назначает время и место рассмотрения дела (судебного заседания) , о чем извещает участвующих в деле лиц. В апелляционной инстанции дело рассматривается судьей районного суда единолично. Постановления, вынесенные другими судами по первой инстанции единолично, проверяются кассационной инстанцией коллегиально.
Производство по апелляционной жалобе ведется по правилам производства в суде первой инстанции. Судья районного суда:
- рассматривает и разрешает повторно дело, по которому вынесено решение мировым судьей;
- проверяет законность и обоснованность этого решения.
Проверка законности и обоснованности осуществляется как на основании имеющихся в деле материалов и установленных фактов, так и путем установления новых фактов и исследования новых доказательств по делу (ч. 3 ст. 327 ГПК РФ) .
Законность и обоснованность решения мирового судьи проверяются апелляционным судом в полном объеме.
Заседание апелляционного суда проводится в том же порядке, что и в суде первой инстанции.

А теперь подробнее что происходит?
Отказали в лишении родительских прав? Или в восстановлении в родительских правах?
и чем суд мотивировал?

А при чем здесь апелляция?

Алименты взысканы? в доли или твердой денежной сумме? Если взысканы, так это нужно в фссп обращаться, писать. Причем апелляция из вопроса не понятно. Уточните.