Может ли мать отказаться от одного ребёнка в пользу отца?

Не может поскольку ребенок это не игрушка.
По суду можно определить место жительства ребенка, но коли он будет жить с отцом, то с вас взыщут алименты.

Если никто из родителей не готов взять ребенка себе - то место жительства ребенка определит суд, исходя из того, как будет лучше самому ребенку.

В вашем случае детей вряд ли разделят, скорее всего обоих оставят матери, руководствуясь следующими соображениями:

Если 9-месячного оставить отцу, то отец не сможет работать. Мать с двухлетней дочерью тоже работать не особо может. Тогда откуда деньги и кто будет содержать детей? С отца алименты не взыщешь, с матери тоже, дети остались без еды.

Так что суд решит "в интересах детей" - а интересы детей таковы, что хотя бы один из родителей должен работать и платить алименты, чтобы вся семья не сдохла с голоду. Возможно это только если отец работает, а мать получает пособие на 9-месячного и сидит дома с двумя детьми.

Так суд и решит.

детей они поделить могут полюбовно, материнский получит, насчет алиментов на усмотрение суда
если ребенок инвалид и ему нужно больше заботы и лечения то вполне возможно суд принудит платить ей алименты а не отцу

жена хочет развестись и хочет больного ребенка оставить с отцом, типа котенка я оставляю себе а собаченка мужу, ведь с ним гулять нужно. Но в данной ситуации может вмешаться опека и если у мужа нет подходящих условий или он откажется забирать больного ребенка то ребенка заберут и обоим родителям присудят платить на него алименты, при этом могут лишить родительских прав и тогда ни кто не получит мат капитал.. Тут пишут -какая она мать! возможно хорошая но иметь 2 -х маленьких детей и он из которых больной и не иметь поддержки от близких то просто может крыша съехать. произойти нервный срыв. Может мужу надо оказывать большую помощь. убольше помогать да и родственники, если есть должны поддержать

Место жительства детей с любым из родителей. Суд здесь ни при чём и отказываться ни от кого не надо - у Вас на детей прав ничуть не больше, чем у их отца. Если спора о месте жительства детей нет, то этот вопрос решается не в суде. Просто подавайте иск в мировой суд, разводитесь и сами решайте, с кем кто из детей остаётся.
Материнский капитал она получит.
Отец может забрать сына независимо от наличия у него собственного жилья.
Не совсем понимаю, с чего вдруг эта женщина рассчитывает на помощь бывшего мужа. Если нищая - пусть обоих детей отцу отдаёт. А то ещё и дочку такой же никчёмной содержанкой вытастит.

Раиса, выше Андрей все верно расписал.
По поводу алиментов: если один ребенок живет с матерью, а другой с отцом, то оба родителя имеют право подать заявления о взыскании алиментов. Но рассматривать заявление и принимать решение будет суд. Может и обоим удовлетворить, может и обоим отказать, а может именно в данной ситуации матери отказать во взыскании алиментов, а отцу наоборот удовлетворить заявление и взыскать с матери.

Все нажитое имущество супругов - совместное. Следовательно материнский капитал и квартира будут разделены пополам. И вообще все это делается через суд. А еще отец, (как родитель тяжелобольного ребенка и единственный опекун) не обязан оплачивать алименты матери, а совершенно наоборот.