Ответьте на вопрос пожалуйста...

Доверенность.

доверенность на бабушку не представлени прав ребенка в учебных заведениях, медицинских заведениях и так далее- у нотариуса есть формы готовые для таких дел, а ребенка поручить можете- как люди по командировкам на несколько лет ездят, вы не на улицу ребенка выкидываете а поручаете близкому человеку, ничего такого страшного в этом нет

Не слушайте бред, который вам написали вверху
Доверенность можно оформить, но в том случае, когда ребёнок остаётся проживать с матерью
Если ребёнок будет временно проживать отдельно от матери, то оформляется временная опека (бабушка будет -опекун и законный представитель) в соответствии со ст. 13 ФЗ "Об опеке и попечительстве"

По-моему нужно маме сходить к нотариусу и написать нотариальную доверенность, что она доверяет бабушке своего ребёнка и перечислить всё то, что она доверяет- устроить дитя в школу, посещать с ним все медицинские учреждения, гулять с ним, ездить по территории России и т. д. Вы у нотариуса спросите- там подскажут. А папы вообще нет или в разводе? Если в разводе, то и его согласие тоже нужно, что он доверяет бабушке. Да, теперь так.. Сама была в шоке, когда у меня спросили доверенность на то, что дочь доверяет мне ребёнка на период нахождения его в больнице на лечении. При том, что я с ним там и лежала...

Документы из старой школы, мед карту, свидетельство. о рождении

Можете.
- доверенность оформляете "на представление интересов ребенка"
- в школе по месту жительства бабушки берёте справку что РЕ возьмут, по этой справке школа где сейчас учится РЕ выдаст Личное дело и Мед. карту 026у.