Имеет ли право подросток хранить тайну переписки от матери?

Мать имеет право нарушить эту тайну. И не спорь!

Не разрешает мессенджерами пользоваться? ))

Ну доведи до идиотизма, сообщения из школы тоже не читай.

Нельзя: родители несут ответственность за ребёнка. Пока не исполнится 18 лет, родители могут влиять на выбор ребенка. При их адекватности ситуации.

Родителей надо слушаться.

Да, с паяльником в известном месте .

Если сумеет.

Отвечаю, начиная с вводной к ответу части.
Общение с другими (любыми нормальными) людьми через интернет - одно из средств Вашего (с нормальными людьми) общения. Вы вправе скоро будете использовать это средство без ограничений (мамы, ещё кого бы то ни было), если у Вас есть собственный (персональный) компьютер.
Пока, будем считать, у Вас есть компьютер в подарок от Вашей мамы, которая и ставить Вам условия его использования.
Условия от всех (без исключения) родителей должны быть разумными.
Запрет мамы общаться Вам через интернет (с какими-то) людьми нельзя считать разумным, но так ей прямо это говорить не следует.
Можно обойти такой запрет от Вашей мамы и проблем у Вас в этом нет, однако Вам следует рассчитывать, исходя из принципа разумности, на откровенность и искренность Вашей мамы, иначе может в Вашей семье подростка (семья, это не только семья мамы, папы, а и семья подростка) возникнуть за Вами слежка.
1. Существует по российскому законодательству ответственность родителей за своих несовершеннолетних детей (подростком до 14 лет возраста, подростков до 16 лет возраста, подростков до 18 лет возраста).
2. Мой не самый Вам важный вывод, когда Вы - лицо (уже с самого малолетнего возраста) гражданства России (РФ).
Вы, как и любой подросток, пользуетесь правами Конституции РФ (мама, просите Вы, прочитай мне мои права по Конституции РФ, но спорить не надо с ней: лишь бы она знала, что у подростка в его семье есть права по Конституции РФ).
Если это имеет значение для Вашей мамы, то ей я поясняю.
А. В её статье 21 указано "достоинство (подростка в его семье) личности", которое "охраняется государством", при этом "ничто не может быть основанием для его умаления".
Б. В её статье 23 согласно её тексту "каждый имеет право на неприкосновенность частной жизни" (семейную тайну защищает Ваша мама). К тому же, согласно часть 2 (второй) этой же статьи "каждый имеет ПРАВО на ТАЙНУ ПЕРЕПИСКИ", при этом "ограничение этого права допускается только на основании судебного решения", а не на "основании решения одного из родителей".
В последующих статьях по тексту Конституции РФ есть ещё много интересного для Вашей мамы.
3. Мой Вам важный вывод.
Подросток хранит тайну свой переписки от матери (по Конституции РФ, имея на это право) сам, а мама ему в этом (хранить его тайну переписки от посторонних помогает и можно поделиться с мамой (полушутя) своими делами по переписке: мама помоги мне сохранить тайну переписки, которую тебе я покажу). Мама (повторю) хранит семейную тайну.
А самый важный вывод Вам в помощь: на каких условиях Вы можете доверить сведения своих дел в интернете с другими людьми - решается у Вас в семье подростка.