Закон обязывает детей досматривать за своими пожилыми родителями, или оставляет этот вопрос на их усмотрение?

Да, закон обязывает содержать трудоспособных, совершеннолетних детей нетрудоспособных, нуждающихся родителей ( ст. 87 СК РФ) , данная статья этот вопрос регулирует.

Отец может взыскать с сына алименты.

В законе нет понятия "досматривать". Что Это что вообще такое?

Закон обязывает взрослых детей помогать материально своим НЕТРУДОСПОСОБНЫМ, НУЖДАЮЩИМСЯ родителям.
То есть родитель должен доказать в суде, что он пенсионер по возрасту или имеет инвалидность нерабочей группы. И доказать что его пенсии не хватает на еду и лекарства или что родитель нуждается в особом уходе (лежачий, неходячий....)
при этом сын\дочь могут доказать в суде что родителю не хватает НЕ на еду, а на пропой, так как он просто пропивает пенсию.
Или что у родителя есть дополнительный доход - неофициально работает, сдает квартиру, имет жену и детей в другом браке, которые тоже обязаны его содержать
Кроме того если дети представят в суд справку о том, что родитель не регулярно платил алименты и имел задолженности -то вообще такой родитель на мат. помощь в пролете.

есть алименты, а досмотра нет.

По совести.

Пунктом 3 статьи 38 Конституции РФ установлена обязанность трудоспособных детей, достигших 18 лет, заботиться о нетрудоспособных родителях. Данная конституционная норма воспроизведена в Семейном кодексе (ст. 87 СК).

Забота детей о родителях предполагает оказание им всесторонней помощи, поддержки и проявление внимания. Причем в п. 1 ст. 87 СК речь идет о необходимости не только моральной, но и материальной поддержки совершеннолетними детьми своих нетрудоспособных родителей. Родители вправе заключить со своими совершеннолетними детьми письменное соглашение, которое подлежит обязательному нотариальному удостоверению, о предоставлении им содержания, то есть соглашение об уплате алиментов. Соглашение об уплате алиментов заключается каждым из совершеннолетних детей с каждым из родителей, а в случае недееспособности одной из сторон - с ее законным представителем (опекуном).