Моя родственница-пенсионерка продала квартиру икупила новую. Какой налог ей нужно будет заплатить?

Уважаемая Наталья! поскольку Ваша родственница получила доход от продажи, то она становится плательщиком налога на доходы физических лиц (НДФЛ) . Будет она платить налог или нет, зависит, прежде всего, как уже тут сказали, от времени нахождения в собственности проданной квартиры, и если менее 3 лет - от суммы, полученной от продажи, и от суммы, уплаченной при покупке.
В соответствии с подпунктом 1 пункта 1 статьи 220 Налогового кодекса в случае реализации квартиры, нах. в собственности менее 3 лет, предоставляется налоговый вычет в размере, не превышающем 1 млн. руб. (т. е. облагаемый доход от продажи уменьшается на 1 млн. руб.) . Если квартира, нах. в собственности менее 3 лет, продана по цене, превышаюшей 1 млн. руб. , то тут пригодится и инф. о купленной квартире, т. к. облагаемая база уменьшается еще и на сумму, потраченную на покупку новой квартиры (но только если ранее знакомая уже не использовала право на вычет от покупки недвижимости, т. к. он предоставляется один раз в жизни) . Таким образом, сумма от продажи минус 1 млн. руб. минус сумма на покупку получается налоговая база, от которой считается 13%, это и есть налог к уплате.
Все эти правила действуют, если обе сделки совершены в одном налоговом периоде (в одном году) .
Плюс в соответствии со ст. 228 НК, если доход получен от реализации квартиры, нах. в собственности 3 года и более, налоговую декларацию подавать не нужно, если менее 3 лет - обязательно в срок до 30 апреля, уплатить налог - не позднее 15 июля.
http://base.garant.ru/10900200-023.htm#0

по поводу пенсионеров - не знаю, но платят налог с продажи если менее 3 лет владела, то что она купила другую квартиру роли не играет.

если право собственности у нее было менее трех лет -то после продажи придется платить налоги -18процентов от стоимости - а если у нее собственность была более трех лет -то никакого налога не будет