как уговорить подругу поехать на соревы?

Зачем её уговаривать? Вы только сделаете хуже этим вашей подруге. Она и так морально истощена, а ещё соревнования и с тем же тренером. Едьте сами.

Никак: образ мысли рано или поздно определит образ жизни. Не далек тот час, когда она окажется на задворках вашего учебного корпуса. Решение: нужно вести эту девушку к квалифицированным специалистам, а ваша жалкая убеждаловка не возымеет эффекта (это если не окажет противоположного)

Её неудачи тянут её вниз, а стоит попробовать заставить её видеть свои неудачи как мотивацию бороться с собой и быть лучше. Скорее всего у неё нервное перенапряжение с этими тренировками - стресс - вот и воспринимает свои неудачи близко к сердцу, да с тренером срывается. Даже упала в обморок - это всё слабость, усталость и, снова таки, перенапряжение.
Ей действительно не нужно сейчас ехать на соревнования - это будет для неё ещё большим стрессом..
Если хочешь её поддержать, то поговори с ней, постарайся убедить, что в спорте учатся на своих поражениях, что это даже хорошо, что каждый перед тем как стать ещё лучше в чем-то, проходит через это болото собственной слабости и неудач, но оно того стоит. И пускай она отдохнет немного от этого всего, отвлечется, а потом вернется в этот спорт с новыми силами и желанием побеждать - никуда её навыки за это время не уйдут. Иначе она так совсем скоро вымотается..