Если надломился стебель георгина, но не сломался, это значит корню конец? Можно выбросить или можно спасти?

А что стебель только один?
Я бы и стебель пока не удаляла полностью, во избежание попадания влаги и всякой заразы, и не выкапывала бы пока - клубни еще не дозрели, как следует и вряд ли сохранятся до весны.
Кстати, меня научили простому способу хранения георгин. Делаю так уже несколько лет и все ОК, хоть способ и не научный. После первых заморозков выкапывает, даем подсохнуть земле, аккуратно ее отряхиваем. К тому времени картошка на зиму уже заложена на хранения. Клубни георгин складываю прямо поверх картошки либо на полочку над ней. Все. Температура и влажность вполне подходит.

нарастет зацветет и пасанки зацветут

Если надломился стебель - ничего страшного, появятся несколько новых. Правда, уже не зацветут (не успеют) , но дадут возможность клубням получать питание. Осенью, перед заморозками, выкопаете, просушите и храните до весны в сухом прохладном месте. Весной посадите, как обычно. Но цветоносы надо привязывать, чтобы не ломались.

полностью согласна с Еленой Смирновой - выкапывать надо после заморозков, а сейчас клубени не созрели - храниться не будут

Ну георгину я выкапываю на зиму, а на следующий год сажаю. Выбрасывать ничего не надо. До конца сломайте стебель и выкопайте корни. Корни вытряхните от земли и в пакет, потом осенью в погреб, а весной сажайте. Но я не знаю, какая у вас георгина.