Будет ли в российском климате расти живая изгородь? И какие сорта/растения посоветуете?

Это все равно, что спросить - будут ли расти в российском климате кустарники и деревья.
Что такое живая изгородь? В принципе - это забор (изгородь, ограда), представляющий собой посадку растений, служащую для ограждения (защиты) и обрамления (обозначения границы) той или иной территории. Для ее формирования используют многие растения - листопадные, вечнозеленые, цветущие, вьющиеся.
Кроме того состав изгороди может быть однопородным, а может состоять из разных пород (видов. сортов).
В зависимости от техники ухода различают два типа: формированная и свободно растущая. Формированная живая изгородь создается путём систематической обрезки растений и придания их кронам строгих геометрических форм. Свободно растущая - без вмешательства со стороны, как заложено природой самого растения.

Перечислять растения, пригодные для создания того или иного вида живой изгороди, не целесообразно.

Единственно, на чем могу остановить внимание, это на определенных группах растений.
Если выращивать в изгороди кустарники с шипами (барбарис, боярышник, шиповник), то придется помучиться при работе ...исколетесь. Особенно, если пытаться ежегодно их формировать.
Если живете не в южном регионе, то не старайтесь высаживать теплолюбивые растения, требующие особого ухода и дополнительной подготовке к зиме. Это слишком трудоемкий процесс. К тому же к весне возможен выпад некоторых растений, что приведет к "дырке" в изгороди.
Дорогие растения тоже не советую для данной цели - изгородь будет неоправданно затратной. Всегда можно подобрать аналог более-менее похожий на желаемое растение.
Учитывайте скорость роста и высоту взрослых растений, чтобы изгородь сравнительно быстро выросла и при этом не превратилась в дремучий лес.
Если интересует, чтобы и в зимнее время участок был закрыт изгородью, то вбирайте вечнозеленые растения. Самые доступные из которых - это ели, сосны и другие ...из ближайшего леса. При посадке таких хвойных пород формирование и ограничения в росте обязательны.

В сети найдете массу примеров с указанием растений и фото живой изгороди.
К примеру http://landshaftportal.ru/zhivaya-izgorod-na-dache/
https://www.yaumen.ru/rasteniya-dlya-zhivoj-izgorodi-top-18/
http://fb.ru/article/35627/kustarniki-dlya-jivoy-izgorodi

Остается только самостоятельно выбрать, ориентируясь на собственный вкус, возможности и некоторые, данные мною советы.

Успехов!

А Вы в российском климате, что ли, ни разу живых изгородей не видели? И в России несколько климатических зон, так что надо смотреть для вашего конкретного места, с учетом всех климатических особенностей. Россия, она, знаете ли, очень большая и разнообразная, если не знали)
И кроме подбора растений по климатической зоне и составу почвы, надо уяснить, чего Вы хотите от живой изгороди, какую функцию. Шумо- ветро- и пылезащита, защита от чужих глаз, декоративная функция, функция защиты от доступа, плодовая функция и иные. В зависимости от функции и от площади Вашего участка будете подбирать уже растения. Лиственные или хвойные, высокие или средние, плодовые или нет. Понятно, что если изгородь граничит с дорогой, то плодовые там лучше не высаживать. Если маленький садовый участок, то лучше не расходовать драгоценные метры на пузыреплодники и кизильники, а приспособить в качестве изгороди даже кусты смородины.
Могу назвать, что у меня высажено вдоль заборов в Подмосковье и хорошо себя зарекомендовало.
Боярышник
Шиповник
Барбарис Тунберга и другие барбарисы
Черная бузина сьедобная и декоративная красная бузина Аурея
Спирея Голдфлейм
Снежноягодник
Бересклет Вороний глаз
Малина и ежевика
Клен Гиннала
Гортензия метельчатая
Сирень разных сортов
Кизильник блестящий
Девичий виноград
Лимонник китайский
Розы плетистые
Облепиха
Периметр заборов почти 200 метров, так что все помещается. Возможно, что-то не вспомнила, или оно растет не у забора.

Шиповник -без проблем

будет конечно... растений для этого хватает...

А в каком регионе вы проживаете? Кизильники, пузыреплодники, дёрен белый, бирючина, шиповники, боярышник, разные барбарисы - прекрасно растут во многих регионах РФ. Будете стричь- вообще красивая живая изгородь у вас получится. Кроме этого- из туй хорошая живая изгородь получается. Но некоторые растения дорогие, а их нужно сажать почаще, чтоб изгородь была всё-таки изгородью, через которую н смог бы проникнуть человек. Это значить, что те туи, например, нужно сажать через 0.5- 0.7 м.

Очень много видов растений произрастает в наших климатических зонах пригодных для выращивания живой изгороди. Надо только сажать почаще и делать регулярную обрезку. Есть растения из которых создают изгородь на шпалерах - это девичий виноград, неукрывные сорта плодового винограда. Можно формировать шпалеры из плодовых деревьев выращивая в виде пальметт, для такой изгороди подходят даже яблони. Идут для зелёного ограждения и хвойные, например туя. Вы погуглите, набрав в поисковике - Зелёные изгороди, указав свой регион, будет множество сайтов.

обычные елки из леса, только надо их стричь.

Дерен, пузыреплодник, кизильник, из туи красиво, но дорого.
Колючие из боярышника, малины.

"Живая изгородь" это не конкретное растение, а способ посадки.
Конечно будет расти, нужно лишь выбрать из чего делать.
Подбирают по требованиям и условиям - место, почва, освещённость, плотность, скорость роста, уход, вид. Из многого можно.
.
Россия на климат богата. В Сочи можно из кактусов, в тундре вообще с кустами/деревьями плохо.
В средней полосе что помню, список гораздо больше
- быстрая: ива, арония
- вечнозелёная: туи, можжевельник, ели, тис местами (растёт медленно, теплолюбив, но теневынослив)
- колючая: шиповник, терн, облепиха
- вьющаяся: зимостойкий виноград, актинидия, лимонник

Если из кактусов-то маловероятно.

классика кизильник блестящий. везде растёт

Конечно, только в России несколько климатических зон.

Карагач (он же ильм).

Виноград. Китайский лимонник, но могут вымерзнуть в сильные морозы.