Обязан ли детдом выписать ребёнка из квартиры, которого он забрал, если тот не имеет доли в квартире.

нет, по достижении 18 лет, дет дом вернет ребенка по месту прописки (регистрации).

полагаю есть постановление районной администрации о том, какая жилплощадь по закону закреплена за ребенком, при определении его в детдом. и вы не сможете продать квартиру, пока, по крайней мере, ребенка не усыновят

Насколько я знаю, усыновлённым детям по достижении 18 лет - от государства фига с маслом.
В этом плане выгодно брать патронат.

квартира принадлежит детдому?

Только что покупали квартиру, где был прописан несовершеннолетний. Большего гемора не видела. Все сделки только через натариуса. Так что никакой детдом никого выписывать не будет. Продать квартиру Вы не сможете, пока ребенку не исполнится 18 лет. У него есть прописка и он имеет право проживания, а значит после лет дома вернётся по месту прописки. И если даже квартира будет продана, любой суд заставит владельца предоставить ему комнату в этой квартире, так что никто с этой квартирой связываться не будет.

а после детдома ребёнок должен пополнить ряды бомжей, так?

Проблемно и через суд. Тк после 18 его скорее всего отправят к вам, а не предоставят комнату или квартиру в другом месте.
Идите в суд и к юристу. Сложно, но возможно (особенно, если он вам никто). И нужно уточнить в вопросе, как досталось жилье ребенка тому человеку и до ухода ли в дет дом.
Ребенок же, который попал в такую ситуацию может защитить свои права, но ему будет сложно. Нужна поддержка будет ему юридическая, чтобы не остаться без квартиры.
Все это очень сложно и нужно знать ситуацию.