Что может быть доказательствами того, что бывший член семьи не проживает в квартире, находящейся в социальном найме?

Не оплачивает коммунальные счета, возможно зарегистрирован временно по другому адресу, возможно обращается за медпомощью в поликлинику не по месту прописки, показания соседей.
Пускай какая-нибудь бабулька из Вашего подъезда напишет заявление в милицию на бывшего члена Вашей семьи, что якобы видела, как он мочился на дверь её квартиры. С бывшего члена семьи в этом случае участковым будут взяты объяснения, в которых он напишет, что это неправда, так как по данному адресу он не проживает. Бабулька получит "отказное" постановление и отдаст его Вам. Оно и будет Вашим карт-бланшем. Можно написать аналогичные заявления в похожие организации. Вы получите письменные отказы, в которых будет написано, что Ваш бывший член семьи по данному адресу фактически не проживает, обращайтесь по его фактическому месту проживания.
Есть ещё очень "радикальный" способ: подать на него в розыск. Если найдут - из УВД получите ответ с местом его фактического проживания. Если не найдут - требуйте в милиции соответствующую бумажку, - представите её суду.

Предоставьте суду документальное подтверждение того что у него есть другое жилье, в котором он и проживает. Если этих доказательств нет, то все Ваши попытки снять его с регистрационного учета (я так понимаю Вы для этого задаете вопрос) , это детский лепет.

Этим доказательством может быть встречный иск о чинении препятствий пользования этим жилым помещением.

Если Вы хотите признать бывшего члена семьи утратившим право на проживаие, предметом доказывания будет: факты, свидетельствующие, что он переехал на другое постоянное место жительство (отсутствие его личных вещей в квартире, фактическое проживание в квартире супруга (супруги) , неоплата коммунальных платежей, можно хотадайствовать о допросе свидетелей (соседей) и т. д. . Т. е. Вам придется доказать, что утратив право пользования в Вашей квартире, он приобрел это право в другой.

Один из вариантов: Акт о непроживании, подписанный несколькими соседями и заверенный в жэке. Подобный способ проходит у нас при приватизации квартир, когда нормальных документов о проживании или непроживании граждане представить не могут.

Показания свидетелей. Но если бывший член семьи не имеет другого места жительства, суд навряд ли примет решение выписать его из муниципальной квартиры

для чего вам это нужно? во-первых, это бывший член. Во вторых - доказатнльсвами в гражданском процессе помимо документов являются показания свидетелей.

свидетельства соседей по дому, родственников, друзей и, по возможности подтверждение того факта, что он проживает в другом месте (те же свидетели по другому месту жительства)

запросы в милицию об установлении места жительства, и ответы оттуда, показания соседей-свидетелей, решение суда о признании гражданина безвестно отсутствующим