какая организация должна заниматься благоустройством дворовой территории

ЖЭК на основании этого

жек конечно, им на это средства давать должны

Та с которой у Вас договор на управление домом.

Если у Вас ТСЖ, то оно, если нет, то ЖЭК

С 2005 года, согласно НОВОГО Жилищного кодекса, благоустройством занимаются ТОЛЬКО САМИ ЖИТЕЛИ.
Другой вопрос в том, что они могут нанять для этого какую-либо организацию или могут создать свою (ТСЖ) .
Если Вы никогда не выбирали (не нанимали) такую организацию (управляющую компанию) , а Вас обслуживает ЖЭК "по-привычке", то никто Вам ничего не должен. Единичные города в нарушение положений ЖК РФ выделют средства на благоустройство дворов из городских бюджетов. Все. Вместе с коммунизмом и халява умерла.
Другой вопрос, если с этим же, предположим ЖЭКом, есть договор, в котором сказано, что в тариф входит не только дворник, уборщица, электрик, сантехник, но еще и детская площадка. То тогда, конечно, ЖЭК и должен. Попросите копию договора (если он есть) и почитайте Перечень работ и услуг.
Если никаких договоров нет - срочно поднимите вопрос, составьте (или в ЖЭКе попросите) , соберите жильцов, утвердите договор, подпишите, а вот потом спрашивайте по полной программе.
Только учитывайте, что если в тариф включить благоустройство двора, он может подняться в несколько раз. Стандартная детская площадка стоит от 150 тыс. руб. - самая простая. Эти расходы делят жильцы между собой пропорционально площади квартиры (если под благоустройством Вы имеете в виду именно детскую площадку. Если что-то другое - нужно считать отдельно и читать договор и Перечень работ, на основе которого выведен тариф. Рынок в стране).