Можно ли обязать ЖЭУ или РЭУ сделать ремонт мест общего пользования в коммунальной квартире?

А чьи тогда службы? Жильцы на каком основании ходят в туалет, ведь он не приватизирован!
Так вот, при приватизации комнат квартиры комунального пользования, каждый оформлящий документы УЖЕ приватизирует свою часть и право вышеуказанных служб, а значит, никакие ЖЭУ или РЭУ делать ремонт не будут.

Сам знаю, что да! Но вот сомневаюсь, что хватит времени, терпения и, самое главное средств...

Места общего пользования, как Вы выразились, т. е. помещения вспомогательного типа (санузлы, кухня и т. д.) , если Вы уже все приватизировали, переданы всем вам и обязанность по их содержанию, также "почетно" упала на Ваши хрупкие плечи. Успехов Вам в ремонте.. . Но есть одно но: если согласно выбранному вами порядку и способу управления многоквартирным домом, а также каким-либо договором с обслуживающей дом организацией заключен такой договор, вы еще можете получить услуги по ремонту силами той организации, но за ваш счет, поскольку в силу ст. 210 ГК РФ бремя содержания собственного имущества на "плечах" собственника

Статья 41. Право собственности на общее имущество собственников комнат в коммунальной квартире
1. Собственникам комнат в коммунальной квартире принадлежат на праве общей долевой собственности помещения в данной квартире, используемые для обслуживания более одной комнаты (далее - общее имущество в коммунальной квартире) .
п. 3 ст. 30 ЖК РФ: Собственник жилого помещения несет бремя содержания данного помещения и, если данное помещение является квартирой, общего имущества собственников помещений в соответствующем многоквартирном доме, а собственник комнаты в коммунальной квартире несет также бремя содержания общего имущества собственников комнат в такой квартире, если иное не предусмотрено федеральным законом или договором.
ну и естественно 210 ГК РФ

так что за свой собственный счет и при наличии договора на интересующие вас услуги именно с этими организациями можете.